つれづれなるままの数学(算数)素数GPSの周辺 iPhoneとAndroid 366 aps

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など、夏休みの研究の話題など、小中高から一般までの話題、「ABC予想」、「リーマン予想」の周辺など 「志村多様体」「保形表現」

メモ 「フェルマーの最終定理の証明」の理解

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など

京都の「知」 未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年

京都の「知」 未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年
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  未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授(51)の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読(論文の内容チェック)に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」(1995年解決)や「ポアンカレ予想」(2006年解決)の証明などと並ぶ快挙となる。

 
ABC予想とは
 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー(IUT)理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み(宇宙)を複数考えるという構想はあまりに斬新で、「未来から来た論文」とも称された。加えて、1000ページを超える望月教授の過去の論文に精通しないとIUT論文を読み解くことは難しく、理解できた数学者は世界で十数人しかいないと言われている。

 望月教授は京大広報課を通じ、解説を公表。「証明完成まで20年ほどかかった」とし、「ABC予想の解決は、IUT理論の一つの重要な帰結であるだけでなく、この理論が整数の深い性質をとらえ得るほど十分な深さを持った理論であることを示している」とした。

 京大によると、論文は同所が編集し、欧州数学会が発行する専門誌「PRIMS」(ピーリムズ)に2月5日付で受理された。今後、特別号に掲載される予定。望月教授はPRIMSの編集委員長だが、今回は除外され、特別編集委員会を設置して論文を審査した。

「天賦の才能を持った人」
 
望月新一・京都大数理解析研究所教授

 望月新一教授は1969年3月、東京生まれ。5歳の時、父親の仕事の関係で渡米し、16歳で米プリンストン大に飛び級入学。19歳で同大大学院に進み、「数学界のノーベル賞」と言われるフィールズ賞受賞者のゲルト・ファルティングス氏に師事した。

 23歳で博士号を取得後、帰国し、京大数理解析研究所の助手に採用されると、96年に助教授、2002年には32歳の若さで教授に就任した。数論幾何学の業績は早くから認められ、45歳未満の研究者を対象に04年度に創設された日本学術振興会賞の第1回受賞者となった。

 これまでメディアへの露出を避け、近況をホームページやブログで時折発信している。

 公私にわたり親交の深い加藤文元・東京工業大教授(数論幾何学)は「普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」と評する。「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とたたえた。

英ノッティンガム大のイワン・フェセンコ教授(純粋数学)の話
 宇宙際タイヒミューラー(IUT)理論は全く新しい視点と、整数の足し算とかけ算の関係についての深い理解に根差している。今世紀、数学界で得られたいかなる業績より数段上の成果だ。それが日本から生まれたことはすばらしい。この成果は何百年後にも記憶され続けるだろう。

ABC予想とは
 
望月新一教授の論文=大阪市北区で2020年4月2日

 1985年に欧州の数学者が提示した整数論の問題。「a+b=c」となる互いに素な(1以外に共通の約数を持たない)正の整数a、bとその和cについて、それぞれの互いに異なる素因数の積(d)を求める。このとき「c>dの1+ε乗(εは正の実数)」となるようなa、b、cの組は「たかだか有限個しか存在しない」とする予想。ABC予想が証明されると、「フェルマーの最終定理」など他の難問も簡単に導き出すことができ、数学界で今世紀最も重要な業績になるとされ、世界の数学者が証明に取り組んでいる。

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16歳でプリンストン大入学 「ABC予想」証明の望月教授は「天賦の才能持った人」


 数学界の超難問「ABC予想」を証明した望月新一・京都大数理解析研究所教授(51)は1969年3月、東京生まれ。5歳の時、父親の仕事の関係で渡米し、16歳で米プリンストン大に飛び級入学。19歳で同大大学院に進み、「数学界のノーベル賞」と言われるフィールズ賞受賞者のゲルト・ファルティングス氏に師事した。

 23歳で博士号を取得後、帰国し、京大数理解析研究所の助手に採用されると、96年に助教授、2002年には32歳の若さで教授に就任した。数論幾何学の業績は早くから認められ、45歳未満の研究者を対象に04年度に創設された日本学術振興会賞の第1回受賞者となった。

 これまでメディアへの露出を避け、近況をホームページやブログで時折発信している。

 公私にわたり親交の深い加藤文元・東京工業大教授(数論幾何学)は「普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」と評する。「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とたたえた。
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数学の未解決難問「ABC予想」、望月・京大教授が証明…論文掲載へ


  京都大は3日、数学の未解決難問「ABC予想」の証明に成功したとする京大数理解析研究所(数理研)の望月新一教授(51)の論文について、国際的な数学専門誌「PRIMS」に掲載が決まったと発表した。投稿から7年半という異例の時間をかけて他の数学者たちが検証し、正しいと認めた。専門家は「数学史に残る偉業」と評価している。


 ABC予想は1985年に欧州の2人の数学者が提唱。整数A、Bと、それらを足し合わせたCの間に、かけ算が絡む特別な関係が成り立つと予想している。

 望月教授は、整数論や幾何学を組み合わせた「宇宙際うちゅうさいタイヒミュラー理論」という全く新しい理論を提唱。この理論に基づいてABC予想を証明したとする4本の論文を、2012年8月に自身のホームページ上で発表し、PRIMSに投稿した。全体で600ページ以上に及び、あまりにも独創的な内容から「未来から届いた論文」などと評された。

 PRIMSは数理研が編集し、欧州数学会が発行する。望月教授が編集委員長を務めるが、今回は本人が審査に関与できないように特別編集委員会を設けて数人で審査し、2月に掲載を認めた。

 記者会見した特別編集委員長の玉川安騎男あきお教授は「学問的な観点から慎重に議論を重ね、証明が正しいと認めた」と、公正な審査だったことを強調した。

 望月教授は19歳で米プリンストン大数学科を卒業し、32歳の若さで京大教授に就任した天才肌の数学者。メディアの取材に応じない意向を示しており、記者会見にも出席しなかった。

 加藤文元ふみはる・東京工業大教授(数論幾何学)の話「望月教授の理論はABC予想の証明にとどまらず、他の数々の未解決予想の証明にもつながると期待される。21世紀の数学を代表する業績で、今後の数学界への影響は計り知れない」


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ABC予想証明、異例の長期検証 数学者も「理解不能」

京都大数理解析研究所の望月新一教授(51)が、数学の超難問「ABC予想」を証明したとする論文を公表してから約7年半。「未来からやってきた理論」と評され、世界でも理解できる数学者は10人ほどとされる革新的な論文は、称賛と疑念の7年半を経てようやく検証が終わり、証明が確定した。
 「興奮」の始まりは2012年8月30日だった。

4編の英語の論文が、望月氏の研究室のホームページに突如公表された。超難問として有名なABC予想が解決された――。論文の存在は次々と世界の研究者に伝わり、驚きに包まれた。英科学誌ネイチャーは「証明が正しければ、21世紀の数学の最も驚くべき業績の一つ」と紹介。米ニューヨーク・タイムズは「数学の謎にブレークスルー」と報じた。
 だが、その興奮は次第に冷めていった。


 論文が、独自の数学用語や記号、定義にあふれ、ほとんどの人が大意さえつかめなかったためだ。米ミシガン大のジェフリー・ラガリアス教授は取材に対し、「多くのアイデアが新しい数学言語で説明されており、理解するには壁は高くて多い」と指摘した。「新しい概念ゆえに、どこが分からないのかさえ分からない」と漏らす数学者もいた。ABC予想の提唱者の1人、仏ソルボンヌ大のジョゼフ・オステルレ名誉教授でさえ「論文を理解できない」と回答した。当初、理解者は数人程度と言われた。

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ABC予想は超難問 解ければフェルマーの最終定理証明も


 京都大の望月新一教授が証明した「ABC予想」は整数の性質に関する問題で、数学の多くの未解決問題の中でも超難問として知られる。

 ABC予想は1以外の公約数を持たない自然数A、Bと、その和であるCについて、それぞれの素因数分解がどのように関係しているかを示した不等式。望月氏によると、足し算と掛け算の「絡み合い方」の性質に関する予想だという。

 数学の難問は、米クレイ数学研究所が2000年に1問当たり100万ドル(約1億円)の賞金を懸けると発表した7問の「ミレニアム問題」が有名だ。ABC予想は含まれていないが、匹敵する超難問とされる。

 ABC予想には複数の種類があり、今回とは別のタイプの予想を証明できれば、解決に約350年かかったフェルマーの最終定理の証明も導けるという。


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ABC予想の新理論「ゼロから構築」 京大が称賛 望月氏は姿見せず 
ABC予想 望月新一教授 数理解析研究所

数学の重要な未解決問題だった「ABC予想」を証明した京都大の望月新一教授。論文が学術誌に掲載されることが決まり、同大は3日、会見を開いたが、望月氏は姿を見せなかった。

 会見したのは共同で編集委員長を務めた柏原正樹特任教授と玉川安騎男教授。望月氏が欠席した理由について質問が出ると、玉川氏は「審査の公正を期して、(編集作業の)最初から完全に望月さんを排除した。本日は編集委員会としての会見だ」と説明した。

 その後も望月氏の人物像や論文掲載への反応などについて質問が相次いだ。メディア側は晴れ舞台への出席を求めたが、出たくないと本人が断ったという。

 新しい数学を切り開いた望月氏の研究姿勢については、玉川氏は「とにかく徹底的に何かをする。ゼロから理論を構築していくのが彼のスタイル」と語った。

 難解な論文は600ページを超えた。柏原氏は「査読に7年あまりを要し、ものすごく大変な作業だった」と、ほっとした表情をみせた。

 論文の出版時期は未定だが、玉川氏は「若い方が興味を持って読んでくれれば。これを機に日本でも世界でも研究が活性化すれば喜ばしい」と期待を寄せた。
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ABC予想証明「数百年に1度」の偉業 望月新一氏、独創的理論

 数学の難問「ABC予想」を証明した望月新一京都大教授の新理論は「異世界から来た」といわれるほど独創的で難解だ。発表から8年近くを経て、ようやく学術誌への論文掲載が決まったが、理解できる数学者は今でも世界でわずか10人程度という。他の難問解決にとどまらず、数学そのものを革新する可能性を秘めており、今世紀の数学に重大な影響を与えそうだ。

 新理論の「宇宙際タイヒミューラー理論」は、数学上のある概念を示す宇宙という言葉と、図形を扱う理論名を組み合わせて命名した。

 望月氏の独創性は、整数の数式であるABC予想の解決に幾何学の理論を当てはめるなどした上で、より抽象的で高い次元の世界を対象とする新理論を一から作り上げた点にある。研究開始から証明完成まで約20年かかったという。

 東京工業大の加藤文元(ふみはる)教授(数論幾何学)は「数学のさまざまな場面で使えるかもしれない全く新しい手法を創造した。新大陸発見のように、誰も気づかなかった数学の世界を切り開いた。数百年に1度の業績だ」と話す。

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ABC予想証明の望月氏はどんな人? 32歳で教授、好物は焼肉


望月新一氏は東京都で生まれ、父親の仕事の関係で5歳のときに渡米。16歳で名門のプリンストン大に入学し、19歳で卒業した。大学院に進み23歳で博士号を取得。世界屈指の数学研究機関である京都大数理解析研究所に入り、32歳の若さで教授に就任した。

 専門は、整数に関する問題を幾何学的な手法で解く「数論幾何」。これまでの業績では、「遠アーベル幾何予想」という難問の証明に成功し、平成16年度の日本学士院学術奨励賞を受賞。図形のグループが代数的な構造まで決めるという理論で、これが今回の新理論につながった。

 メディアの取材に応じない一方、ホームページでは「元気にやっています。所在地 京都府」といった自身の「安否確認情報」を随時更新して公表。人物像は謎に包まれている。

 望月氏のものとみられるブログには、NHK紅白歌合戦の感想や社会、文化、国際情勢などを独自の数学的解釈で考察した個性的な文章が記されている。旅行や国際交流が苦手で「何十年にもわたり、基本的には自宅や研究室に閉じ籠もって数学の研究に打ち込む生活を送ってきた」という。

 フィールズ賞受賞者で、プリンストン大時代に望月氏を指導した独ボン大のゲルト・ファルティングス教授は「とても自立していて、なかなか自尊心の強い人だった」と振り返る。

 親交が深い東京工業大の加藤文元教授によると、望月氏は「大天才で、深く物事を考えるタイプ」。気さくな性格といい、焼き肉が大好きで、行きつけだった京大近くの店が突然閉店したときは、二人して入り口で立ち尽くしたという。


 また、デジタル機器への関心が高く、新商品が出るとすぐに購入。すべてのテレビ番組を録画できる「全録レコーダー」を駆使し、好きな番組は見逃さない。


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難問「ABC予想」京大教授が証明 専門家「歴史に残る成果」
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世界の数学者が30年余り挑戦して解くことができなかった難問、「ABC予想」について、京都大学は数理解析研究所に所属する教授が証明したと発表しました。専門家は「数学の歴史に残る成果だ」としています。

「ABC予想」は、ヨーロッパの数学者が提唱した整数の性質についての難問で、数学における多くの未解決な難題を解く手がかりになるとして、30年余りにわたって多くの数学者が証明を試みてきましたが、これまで成功した人はいませんでした。

京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)は「ABC予想」を証明したとする4本の論文を書き、複数の研究者が審査する数学専門の科学雑誌に掲載されることになったことから、3日、京都大学が会見を開き、望月教授が「ABC予想」を証明したと発表しました。

この4本の論文は、望月教授が1人で築いた新しい理論を使って「ABC予想」を証明したとしていて、8年前に自身のホームページで公表するとともに、科学雑誌の審査が行われていました。

しかし、この論文は従来の数学の概念や理論の枠組みを離れ、全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。

この間、海外の一部の研究者から論文の正しさについて指摘などがあり、望月教授は論文の修正を重ね、今回の掲載につなげたということです。

会見に出席した数理解析研究所の教授は「証明したことに間違いがないと言ってかまわない。『ABC予想』は根本的な問題で、証明できたことは非常に大きなインパクトがある」と話しました。

この分野を専門とする東京工業大学の加藤文元教授は「非常に独創的な新しい論文で、何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。

望月教授 みずから築いた新理論で証明
「ABC予想」は1985年にヨーロッパの数学者によって提唱された数学の難問です。

「ABC予想」は、1630年代に提唱され、解決までに300年以上かかった「フェルマーの最終定理」や、1850年代に提唱され、150年以上たった今も未解決の「リーマン予想」に匹敵する数学の難問とされ、証明できれば今世紀最大級の成果になるとも言われてきました。

「ABC予想」は、整数の足し算とかけ算の間にある特別な関係を証明することで、整数の性質を明らかにしようというものです。

具体的には正の整数のaとbで「a+b=c」が成り立つ時、a、b、cそれぞれを素因数分解した時に現れる異なる素数をかけ合わせたdとcの間には特別な関係が成り立つことを証明します。

これによって、まだ分からないことが多い整数の性質をとけることにつながるため、これまで多くの数学者が証明に挑んできましたが、誰も成し遂げられずにいました。

今回、望月教授は、「宇宙際タイヒミュラー理論」=「IUT理論」と呼ばれる新しい理論を1人で築き、この理論を使って「ABC予想」を証明したということです。

「IUT理論」は前提となる概念から独自に作り出すなど、これまでの数学とは全く異なる枠組みで理論を構成しています。

また、4本の論文全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため審査は長期間におよび、論文の掲載までにおよそ8年かかりました。

一方で、以前から論文の正しさに疑問を投げかけていた研究者も海外を中心に存在していて、望月教授は自身のホームページなどで、新しい枠組みの議論を一から始めて、一つずつ受け入れてもらいたいとしています。


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京都大の望月教授が解いた数学の超難問、「ABC予想」ついに学会誌掲載へ



 数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日発表し、大手マスコミ各社が報じた。

 望月教授は12年8月にこの問題を解いたことを明らかにしていたが、論文を掲載する数学誌がなく、謎の証明となっていた。

 BOOKウォッチでは20年3月18日、このことを論じた加藤文元・東京工大教授の著書『宇宙と宇宙をつなぐ数学』(株式会社KADOKAWA)を紹介したばかり。「ABC予想」が数学の学会誌にこれまで掲載されない理由について は、「理論がとても難解で、論文掲載の事前審査が進まないから」とみられていた。

写真は『宇宙と宇宙をつなぐ数学』(株式会社KADOKAWA)
 加藤教授は今回、毎日新聞の取材に、「(望月さんは)普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とコメントしている。

 朝日新聞は「ABC予想が証明されると、スピロ予想やフライ予想、ボイタ予想などさまざまな数学の難問が一挙に解決するとされる。証明に350年以上かかった『フェルマーの最終定理』も、ABC予想を発展させると、数ページで簡単に証明できてしまうほどだ」と報じている。
1122 数学「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」aa


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京都 難問ABC予想 京大教授が証明

世界の数学者が30年余り挑戦して解くことができなかった難問、「ABC予想」について、京都大学は数理解析研究所に所属する教授が証明したと発表しました。
専門家は「数学の歴史に残る成果だ」としています。

「ABC予想」は、ヨーロッパの数学者が提唱した整数の性質についての難問で、数学における多くの未解決な難題を解く手がかりになるとして、30年余りにわたって多くの数学者が証明を試みてきましたが、これまで成功した人はいませんでした。
京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)は、ABC予想を証明したとする4本の論文を書き、複数の研究者が審査する数学専門の科学雑誌に掲載されることになったことから、3日、京都大学が会見を開き、望月教授がABC予想を証明したと発表しました。
この4本の論文は望月教授が1人で築いた新しい理論を使ってABC予想を証明したとしていて、8年前に自身のホームページで公表するとともに、科学雑誌の審査が行われていました。
しかし、この論文は、従来の数学の概念や理論の枠組みを離れ、全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。
この間、海外の一部の研究者から論文の内容について指摘などがあり、望月教授は論文の修正を重ね、今回の掲載につなげたということです。
会見に出席した数理解析研究所の教授は、「証明したことに間違いがないと言って構わない。ABC予想は根本的な問題で、証明できたことは非常に大きなインパクトがある」と話しました。
この分野を専門とする東京工業大学の加藤文元教授は「非常に独創的な新しい論文で何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。

【ABC予想と新しい理論】
「ABC予想」は、1985年にヨーロッパの数学者によって提唱された数学の難問です。
ABC予想は、▼1630年代に提唱され、解決までに300年以上かかった「フェルマーの最終定理」や、▼1850年代に提唱され、150年以上たった今も未解決の「リーマン予想」に匹敵する数学の難問とされ、証明できれば今世紀最大級の成果になるともいわれてきました。
ABC予想は、整数の足し算とかけ算の間にある特別な関係を証明することで、整数の性質を明らかにしようというものです。
具体的には、正の整数のaとbで「a+b=c」が成り立つとき、a、b、cそれぞれを素因数分解したときに現れる異なる素数をかけ合わせたdとcの間には特別な関係が成り立つことを証明します。
これによって、まだわからないことが多い整数の性質を解けることにつながるため、これまで多くの数学者が証明に挑んできましたが、誰も成し遂げられずにいました。
今回、望月教授は、「宇宙際タイヒミュラー理論」=「IUT理論」と呼ばれる新しい理論を1人で築き、この理論を使ってABC予想を証明したということです。
「IUT理論」は、前提となる概念から独自に作り出すなど、これまでの数学とは全く異なる枠組みで理論を構成しています。
また、4本の論文全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。
一方で、以前から論文の正しさに疑問を投げかけていた研究者も海外を中心に存在していて、望月教授は自身のホームページなどで、新しい枠組みの議論をいちから始めてひとつずつ受け入れてもらいたいとしています。

【専門家“歴史に残る成果だ”】
この分野を専門としている東京工業大学の加藤文元教授は今回の成果について、「この分野で世界的に権威のある信用度の高い学術誌への掲載が認められたことで、論文の正しさについて一定のお墨付きが与えられたことになる。今後、修正が入ることもないとはいえないが、論文の結果は信じて良いと世界の数学者は考えることになる。非常に独創的な新しい論文で何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。
そして、今後については、「ABC予想を証明することは、まだわからないことが多い整数の性質を1度に解いてしまうほどの波及効果があり、今回の新しい理論が数学界に与えるインパクトは非常に大きい。今後、実社会を変えるイノベーションにつながることもありうるかもしれない」しています。

【“議論進展を希望”】
「ABC予想」を証明したとする論文が掲載される科学雑誌で、共同で編集委員長を務めた京都大学数理解析研究所の柏原正樹特任教授と玉川安騎男教授は3日、京都大学でオンライン会見を開きました。
この中で、柏原特任教授は、「この論文をめぐってさまざまな議論が巻き起こったが、一応、確定したということで若い人にも興味を持ってもらい、さらに議論が進展することを希望している」と話しました。
また、審査がおよそ8年間という異例の長期に及んだ理由について、玉川教授は、「600ページという長さのうえに、論文の正しさを審査する側が斬新な理論を理解するのに時間がかかった。既存の数学の理論をまったく新しい方法で組み合わせていて、数学の研究者でも初めて学ぶ学生のようにひとつひとつ理解していかないといけない難しさがある」と説明しました。
そのうえで、望月教授の研究姿勢については、「既存の研究を少し借りるということはせず、基礎の基礎から始めてゼロから理論を構築することを徹底していて、今回の論文にもその姿勢が如実に表れている」と話していました。

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参考

未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年
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「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下

(個人的に、「平成30年間」に影響を受けた書籍(一部分))
参考

平成30年の「120冊」  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編)

平成30年間の31冊  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編) 洋書(英語版)

「令和」に伝えたい数学書籍  選  平成30年間の和書・書籍「120冊」(日本語)と洋書・書籍「31冊」(英語版)



参考
2013 1010頃
数学者が読んでいる本ってどんな本 小谷元子(編集) 東京書籍 森重文 (著), 上野健爾 (著), 足立恒雄 (著),砂田利一 (著), 黒川信重 (著),小谷元子 (著, 編集), 益川敏英 (著), 野崎昭弘 (著), & 5 その他 など


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参考

“ことしの本” 大賞に異例の数学解説書 「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」
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数論幾何学 望月新一 教授

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京都大学・望月新一教授「ABC予想」論文が世界を驚かせたわけ

 現代数学で最も難解だという「ABC予想」を証明したとする京都大数理解析研究所・望月新一教授の論文が話題です。元NASA研究員の小谷太郎氏による、『宇宙はどこまでわかっているのか』(幻冬舎新書/2019年)の「第5章 科学はどこまでわかっているのか」では、〈未解決問題「ABC予想」が証明されたようだ〉として、望月新一教授の論文が世界を驚かせたわけをこのようにしるされていました。

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数学者も解読に苦しむ600ページもの証明

近ごろ、数学の業界は、重要未解決問題である「ABC予想」が証明されたようだ、という話題で盛りあがっています。

証明を発表したのは京都大学数理解析研究所の望月新一教授(1969-)で、その証明論文は全部で600ページを超える膨大なしろものです。これをプリントアウトした人、世界に何人いるんでしょうか。

「近ごろ」といっても、その論文は2012年にウェブ上に発表されたものです。

何年もたてば、普通は、ホットな話題も温度が下がってくるものですが、そうはならずにかえって沸騰している理由は、その証明がどうやら正しいようだと認められ、学術誌に掲載されることになったためです。

この膨大な論文はあまりに難解で、数学業界が理解するのに何年もかかったというのです。

けれどもこの件についての世間の報道は、望月教授の生い立ちや人柄に多くのバイト数を費やして、ABC予想そのものについては、難解すぎるためか、さわらぬ数学にたたりなしという態度をとるメディアが多いようです。

たしかに、数学者も解読に難儀する600ページの証明をここでわかりやすく説明するのは、まあはっきりいって無理なんですが、男には負けるとわかっていても戦わなければならないときがあるとキャプテンハーロックも言ってます。

どんな予想で、なにがすごいのか、解説を試みましょう。

ABC予想とはどんなものか

「ABC予想」、別名「オスターリ・マッサー予想」とは、フランスのパリ第4大学のジョゼフ・オスターリ博士(1954-)とスイスのバーゼル大学のデイヴィッド・マッサー教授(1948-)が1980年代に発表した予想です。

数学業界における「予想」とは、「まだだれも証明できないけど、△△という定理が成り立つような気がするなあ」という主張です。

だれかがこういう予想をすると、これを証明したくなったり、あるいはこれがまちがっていることを証明したくなったりするのが数学者という人種です。

なんでそんなことをしたくなるのか理解できない方が人類の多数派と思われますが、数学者のそういうモチベーションによって、世の中は進歩してきました。

さてABC予想です。これはどのような予想なのでしょうか。いくつか表現方法がありますが、そのうちの一つは次のようなものです。

 

正の整数AとBの和をCとします。つまり、

A+B=C

です。正の整数は、素数のべきの積に「素因数分解」することができます。たとえば15ならば、

15=3×5

4ならば、

4=2^2

という具合です。AとBは、このような素因数分解をほどこした時、共通の素因数をもたないように選んでおきます。たとえば、

A=4、B=15

という組み合わせです。このような、共通の素因数をもたないAとBは「たがいに素」だといいますが、べつに覚えなくてもさしつかえありません。一方、たとえば、

A=4、B=6

という組み合わせは、共通の素因数2をもつので、今回の考察の対象外です。

次に、そうやって選んだAとBと、その和Cを、かけ合わせ、素因数分解します。

A×B×C=4×15×19=(2^2)×3×5×19

さらに、素因数分解の結果から、異なる素因数だけを拾ってかけ合わせて、新たな数Dを作ります。つまり、べき乗は1乗に変えます。

(2^2)×3×5×19 → 2×3×5×19=570=D

DはA×B×Cの「根基(こんき)」と呼ばれますが、やはり覚えなくてもさしつかえありません。

この時、「たいていの場合、DはCよりも大きくなるだろう」というのがABC予想です。

「たいていの場合」というのをもっと厳密に表現すると、

「ある正の実数εについて、 C>D^(1+ε)を満たすCは有限個しか存在しないだろう」

となります。

これで一応、あまり難しい数学用語は使わずに、ABC予想を説明してみました。ABC予想は、言い換えると、

「たがいに素な整数AとBをたして A+B=C を作ると、Cには、AにもBにも含まれない新しい素因数がいくつも含まれるだろう」という予想です。

そういう場合はたいてい、D>Cが成り立ちます。



望月新一教授の証明論文あらわる

2012年、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、個人ホームページに「宇宙際タイヒミュラー理論」と題する4篇の論文をアップロードしました。

合計で500ページ(後に補足を含めて600ページ)になる大論文です(*1)。

この論文は世界的に注目を浴びました。なにしろ、

・実績とユニークな言動で業界に知られる望月教授の論文である。(今度は何を始めたんだ。)

・ABC予想の証明論文である。(本当だったら快挙。)

・膨大で難解で、同業者にも理解が困難である。(なにかすごいことが書いてあるのだろうか。)

というわけです。まだ査読を受けて学術誌に掲載されたわけではないのに、早速(2012年)、『ネイチャー』にもとり上げられました。

論文がたどった異例ずくめの経過

望月教授のABC予想証明論文は、数理解析研究所の発行する学術誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences(PRIMS)』(編集長は望月教授)への投稿論文ということになります。

通常、論文を受け取った学術雑誌の編集部は、(査読のある学術誌なら)査読者(レフェリー)に読んでもらいます。

編集部がその論文の研究分野の研究者から査読者を選び、匿名で査読をおこないます。

査読は数週間程度、長いと数カ月かかるものですが、望月論文の場合は5年以上という異例の長期間におよびました。

証明論文でもちいられている「宇宙際タイヒミュラー理論」は、望月教授が20年以上取りくんで、ほぼ独力で構築してきた理論です。

論文には多くの新しい用語や定義がちりばめられ、専門家にとっても理解するのに相当な努力が必要です。

5年の間には、この論文を勉強するための国際会議も開かれました。普段、日本国外で講演しない望月教授もTV会議システムで参加しました。

ただしほとんどの聴衆は望月教授の説明を理解できなかったようです。

まだ正式に掲載されていない論文の勉強会がおこなわれるとは、これも異例です。そうでもしないと理解が進まず、査読もできなかったのです。

関係者のそうした努力の結果、論文に誤りがないようだと結論され、ついに受理が決まりました。(ただし2019年現在、掲載はまだ決まっていません。)

 

専門家も読解に苦労するこの600ページの望月論文、筆者もページをめくってみたものの、残念ながらというか当たり前というか、やはり理解できませんでした。

(LaTeX〈*2〉でこんな数式が表示できるのか、と感心したので、ソースを見たくなりました。)

ABC予想は整数について述べていますが、望月論文では、これを楕円曲線についての定理に置き換えます。さらにフロベニオイドという新たな数学概念を作りあげ、これをもちいて楕円曲線をあつかい、証明をおこなっているようです。

無責任なようで申し訳ありませんが、証明方法についてこれ以上詳しく知りたい方は、原論文をご参照ください。

それにしても、ABC予想は一見単純なのに、それを証明するとなると、新しい数学概念と600ページが必要だとは、数学の世界とそれを探求する人類の営みは、実に深遠です。

 





*2─数式入力などに定評がある組版処理システム。物理系や数学系の論文は、だいたいこれを使って書かれる。

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夏休みの自由研究・読書感想文用:「フェルマーの最終定理」の研究  (数学・数理科学分野) (「フェルマーの最終定理の証明」の理解へ)

夏休みの自由研究・読書感想文用:「フェルマーの最終定理」の研究  (数学・数理科学分野) (「フェルマーの最終定理の証明」の理解へ)
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=キーワード =
360年、楕円曲線 、保型形式  、Galois(ガロア)表現、R=T、素数、mod p(合同式)、背理法、日本人、ゼータ関数、数学の大統一、l進、フェルマー、オイラー、ガウス、ガロア、アイゼンシュタイン、クンマー、Hecke(ヘッケ)、フライ、メイザー・リベット、日本人(谷山、志村、岩澤、肥田など)、モジュラー関数、楕円関数、「谷山・志村予想」、「セルマー群」、「Wiles の (3, 5) トリック」、「半安定な楕円曲線」、「ヘッケ環」、「絶対ガロア群」、「ベースチェンジ」、ワイルズ・テイラー など 
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わかりやすいもの(「視覚」で確認しよう)
Fermat の最終定理を巡る数論 (まずは、図やグラフの「絵」を見て見よう)
「フェルマーの最終定理」の図や写真のみをまず、確認!

動画
Fermat's Last Theorem: フェルマーの最終定理


楕円曲線の数論幾何
「楕円曲線」と「保型形式」って?
「R = T 定理の仕組み」と「ガロア表現」って?

楕円曲線の加群構造

楕円曲線とモジュラー形式(保型形式)

楕円曲線

モジュラー形式(保形形式)

書評 肥田書籍(「フェルマーの最終定理」関連書籍の・・・)

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=おすすめ書籍 18冊   (初級者5冊・中級者5冊・上級者8冊)=
初心者のための「フェルマーの最終定理」から やや専門書  (「フェルマーの最終定理」の理解へ)

=初級・中級者用=(5冊) (小・中・高校生から)
数学ガール/フェルマーの最終定理 (数学ガールシリーズ 2) - 結城 浩 単行本 ¥1,944
フェルマーの最終定理 文庫 フェルマーの最終定理 (新潮文庫) サイモン シン(著), 青木 薫 (翻訳)  ¥853
フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 文庫 ¥1,404
(「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社 ¥2,575)
(フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書  新書 ¥886 )



=中級・プレ上級者用=(5冊)(中・高校生から)
フェルマーの最終定理・佐藤-テイト予想解決への道 【類体論と非可換類体論1】 加藤 和也  (著) (岩波オンデマンドブックス) ¥2,916
楕円曲線論入門 J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳 単行本 ¥4,089
保型関数―古典理論とその現代的応用― 志賀弘典 (著)単行本 ¥4,644
楕円曲線と保型形式 - N.コブリッツ(著) 上田 勝 (翻訳) 単行本 ¥4,536
(代数幾何学入門 上野 健爾 (著) (岩波オンデマンドブックス) ¥5,832 )


=上級者用(数学専門家)=(8冊)
フェルマー予想(岩波オンデマンド) 斎藤 毅(著)¥7,452 (「フェルマー予想」解決!)
保型形式と整数論 土井公二・三宅 敏恒(著)(三宅 敏恒 著, Modular forms Springer.)
数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス) - 加藤 和也(著)他 ¥4,212
数論 II――岩澤理論と保型形式 (岩波オンデマンドブックス) - 黒川 信重(著)他¥6,480
保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) - 吉田 敬之(著) ¥7,344
Silverman, Joseph H(2009)『The Arithmetic of Elliptic Curves』Springer.』(楕円曲線論概説 上・下 (J.H.シルヴァーマン(著)、鈴木 治郎(訳)))
志村五郎 著『Introduction to the theory of automorophic functions』
(代数幾何学 1.2.3 - R.ハーツホーン(著)¥4,104+¥2,592+¥3,456)
(代数幾何学 上野 健爾 (著) (岩波オンデマンドブックス) ¥8,457 )

数学専門家=研究者を志す大学院生やある程度の予備知識をもつ数学者を念頭


=上々級 数学者用(直接論文に)ワイルズ氏らの論文=
1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 
2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras

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 フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、(xのn乗) + (yのn乗) = (zのn乗) となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
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参考 書籍

「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社 ¥2,575
フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書  新書 ¥886

衝撃的な Fermat 予想 解決から 10 年余りを経た現在, 彼が代数学や整数論に与えた影響を周り の風景
 (特に、谷山ー志村予想とフェルマー予想)


フェルマーの最終定理(予想)

保型形式 尖点形式の L-函数


岩澤理論の発展  加藤和也 (2つのゼータ関数 楕円曲線、保型形式など )
al = 1 + l − (E(Fl) の元の個数

保型形式 (SL2(Z))の基本 (“保型形式と楕円曲線の対応”とフェルマーの最終定理など)

Γ0(4) 上の保型形式について 

保型形式入門


ガロア表現の基礎

Hecke 固有形式に付随するガロア表現の構成について

ガロア表現に関する資料

保型表現と Galois 表現


保型形式とコホモロジー


Artin 表現に付随する保型表現

論説 数論幾何におけるガロワ表現
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/51/2/51_2_161/_pdf

Taylor-Wiles 系の復習 (R=T 関係など)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/RT1_yamashita.pdf
・・・・・

代数学1(群論入門)  雪江明彦(著)
代数学2(環と体とガロア理論)  雪江明彦(著)
代数学3(代数学のひろがり)  雪江明彦(著)

整数論1(初等整数論からp進数へ)- 雪江明彦(著)
整数論2(代数的整数論の基礎)- 雪江明彦(著)
整数論3(解析的整数論への誘い)- 雪江明彦(著)

代数学〈1〉群と環 (大学数学の入門) - 桂 利行 (著)
代数学〈2〉環上の加群 (大学数学の入門) - 桂 利行(著) 
代数学〈3〉体とガロア理論 (大学数学の入門) - 桂 利行(著) 

代数幾何学 1.2.3 - R.ハーツホーン(著)
代数幾何学 上野 健爾 (著) (岩波オンデマンドブックス)
・・・・
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数学ガール/フェルマーの最終定理 (数学ガールシリーズ 2) - 結城 浩 単行本 ¥1,944

目次
あなたへ
プロローグ
第1章 無限の宇宙を手に乗せて
第2章 ピタゴラスの定理
第3章 互いに素
第4章 背理法
第5章 砕ける素数
第6章 アーベル群の涙
第7章 ヘアスタイルを法として
第8章 無限降下法
第9章 最も美しい数式
第10章 フェルマーの最終定理
エピローグ
あとがき
参考文献と読書案内
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フェルマーの最終定理 文庫 フェルマーの最終定理 (新潮文庫) サイモン シン(著), 青木 薫 (翻訳) ¥853

内容説明
17世紀、ひとりの数学者が謎に満ちた言葉を残した。「私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない」以後、あまりにも有名になったこの数学界最大の超難問「フェルマーの最終定理」への挑戦が始まったが―。天才数学者ワイルズの完全証明に至る波乱のドラマを軸に、3世紀に及ぶ数学者たちの苦闘を描く、感動の数学ノンフィクション。
目次
第1章 「ここで終わりにしたいと思います」
第2章 謎をかける人
第3章 数学の恥
第4章 抽象のなかへ
第5章 背理法
第6章 秘密の計算
第7章 小さな問題点
第8章 数学の大統一
補遺

著者等紹介
シン,サイモン[シン,サイモン][Singh,Simon]
1967年、イギリス生れ。祖父母はインドからの移民。ケンブリッジ大学大学院で素粒子物理学の博士号を取得し、ジュネーブの研究センターに勤務後、英テレビ局BBCに転職。TVドキュメンタリー『フェルマーの最終定理』(’96年)で国内外の賞を多数受賞し、’97年、同番組をもとに第1作である『フェルマーの最終定理』を書き下ろす。第2作『暗号解読』、第3作『ビッグバン宇宙論』(以上新潮社刊)がいずれも世界的ベストセラーとなり、科学書の分野で世界トップクラスの高い評価を得ている

青木薫[アオキカオル]
1956年、山形県生れ。京都大学理学部卒業、同大学院修了。理学博士。翻訳家(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

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フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 文庫 ¥1,404

 「方程式 (xのn乗)+(yのn乗)=(zの乗) が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」 がついに証明された!問題のわかりやすさ、美しさに比べ、攻略のなんと難しかったことか。1995年のワイルズの最終証明に至る歴史的な道筋を、ギリシア以来の初等的整数論に始まり、フェルマーやクンマーによる代数的数論、さらに20世紀後半に花開いた楕円曲線論を初めとする幾何学的数論を経てたどる本格的な数論史。偉大な数論学者たちのアイデアはどのように育まれ、そしてどのような数学的道具が創造されたか。原資料を博捜し、その数学的真実に迫る。
この本の目次
第1章 古代の数論
第2章 フェルマーとその時代
第3章 フェルマー以後クンマー以前
第4章 クンマーの金字塔
第5章 1851年以降の展開
第6章 ついにフェルマーの大定理が証明された!

著者紹介
足立 恒雄(アダチ ノリオ)
1941年、京都府生まれ。早稲田大学理工学部数学科卒業。同大学教授。理学博士。専攻は代数的数論、数論史
//
フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著

目次
1章 古代の数論
 欄外の書き込み
 ピュタゴラス数
 素因数分解の解の一意性
 Plimpton 322
 ギリシャ時代
 原論と算術
 ガウスの整数による解法
2章 フェルマーとその時代
 15,16世紀の状況
 ヴィエト
 フェルマーの生涯
 フェルマーの数論上の業績
 二つの挑戦状
 フェルマーのその他の業績
 デカルト
 パスカルの数学的帰納法
 フェルマーの大定理の正しい証明を得ていたか
3章 フェルマー以後 クンマー以前
 オイラー
 5次以上の個々の場合
 ソフィ・ジェルマンの結果
 1847年の事件
 ラメの証明とその欠陥
4章 クンマーの金字塔
 1844年まで
 円分整数
 p≡1(mod l )なる素数の分解
 理想数の定義
 因子の定義
 二条件の下で大定理は正しい
 クンマーの論文概略
5章 1851年以降の展開
 その後のクンマー
 諸結果
 理想数のその後
 p進解析の系譜
6章 ついにフェルマーの大定理が証明された!
 幾何学的な考え方の台頭
 モーデルの有限基底定理
 モーデル=ファルチングスの定理
 遠祖ディオファントス
 始祖フェルマー
 群構造の発見
 フライの貢献
 谷山予想への還元
 谷山予想の同値形
 谷山予想の生い立ち
 ワイルズ・ザ・コンカラー
//////
「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社 ¥2,575
目次
まえがき
6月23日ニュートン研究所でのワイルズの講演
フェルマーからワイルス
 ローレライの谷のもくずと・・
 青春の夢・中年の夢・ゼータの統一の夢
 楕円曲線のふしぎ
 フェルマー予想の谷山ー志村予想への帰結
 ワイルスさんの取り組んでいること
 困難の打開法を探る
 鶴さんはゼータのすみかで・・・
ガロア理論と数論
 素数の笛の音・・・類体論
 非アーベルの渓谷と楕円曲線
不抜のフェルマー城陥落す 
 ついに来るべき時が・・
 保型形式のこと
 はるかな夢を
付録
 数論の現在
 補足

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フェルマーの最終定理・佐藤-テイト予想解決への道 【類体論と非可換類体論1】 加藤 和也  (著) (岩波オンデマンドブックス) ¥2,916

素数の演じるさまざまな実例を通して,類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく説明する.さらに非可換類体論の進展がなぜフェルマーの最終定理や佐藤-テイト予想解決に結びつくのかについて,その背景を丁寧に解説する.類体論から非可換類体論へと大きく転換しようとしている現代整数論の生きた姿を概観できる.

目次
1 フェルマーからの流れ
1.1 フェルマーの最終定理
  1.2 フェルマーが開いた類体論
  1.3 類体論の流れ
2 類体論とは
  2.1 平方剰余の相互法則
  2.2 2次体における素数の分解
  2.3 いろいろな体における素数の分解
  2.4 類体論の力の限界
3 非可換類体論とは
  3.1 類体論を越えて:非アーベル拡大
  3.2 類体論を越えて:楕円曲線
  3.3 ゼータ関数
  3.4 2種類のゼータ関数の一致
  3.5 非可換類体論の心
  3.6 佐藤-テイト予想
  3.7 佐藤-テイト予想と非可換類体論
  3.8 フェルマーの最終定理と非可換類体論
  3.9 楕円曲線のゼータ関数とラマヌジャン予想についての補足
4 ガロア理論と類体論,非可換類体論
  4.1 ガロア理論の心
  4.2 ガロア理論の主定理
  4.3 ガロア理論と古典的類体論
  4.4 ガロア表現と類体論,非可換類体論
付 録
  1 代数体の整数環
  2 イデアルと素イデアル
  3 正則関数,有理型関数,解析接続

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楕円曲線論入門 J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳 単行本 ¥4,089

内容説明
Nagell‐Lutzの定理、Mordellの定理、Hasseの定理などの基本的な定理の証明に力を入れる。数論を学ぼうとする学生・教育者はもちろん、暗号理論や物理学を学ぶ人にとっても必読の書。

目次
第1章 幾何と算術
第2章 有限位数の点
第3章 有理点のなす群
第4章 有限体上の3次曲線
第5章 3次曲線上の整点
第6章 虚数乗法
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保型関数: 古典理論とその現代的応用 (共立講座 数学の輝き) - 志賀 弘典 単行本 ¥4,644

保型関数―古典理論とその現代的応用― 志賀 弘典


第1章 楕円曲線と楕円モジュラー関数

1.1 SL2(Z) と複素トーラスのモジュライ
1.2 SL2(Z) の基本領域と生成元
1.3 ワイエルストラス℘関数と2 重周期関数
1.4 3 次代数曲線論
1.5 ワイエルストラス℘関数による3 次曲線の助変数表示
1.6 楕円モジュラー関・数・j(τ)
1.7 楕円モジュラー関・数・曼荼羅

第2章 SL2(Z) に関する保型形式概論

2.1 保型形式の概念
2.2 アイゼンシュタイン級数
2.3 楕円曲線から導かれる保型形式,とくに判別式形式
2.4 保型形式環M(Γ)
2.5 デデキントのエータ関数
2.6 アイゼンシュタイン級数E2(z)
2.7 ゼータとテータ
2.8 余興:楕円曲線のハッセ-ヴェイユL関数

第3章 合同部分群に関する保型形式

3.1 概説と記号
3.2 尖点
3.3 合同部分群によって得られるリーマン面
3.4 主合同部分群Γ(N)
3.5 合同部分群に関する保型形式
3.6 コンパクト・リーマン面概説
3.7 リーマン-ロッホの定理概説
3.8 合同部分群に対する次元公式
3.9 Γ1(N) の基本領域と生成系
3.10 合同部分群の重要性

第4章 ヘッケ作用素と固有形式

4.1 予備的考察
4.2 ヘッケ写像
4.3 ヘッケ作用素T(n) 
4.4 ヘッケ固有形式
4.5 ディリクレ級数:L 関数への準備
4.6 L関数への反映
4.7 2 つの典型的なヘッケ固有形式の例
4.8 合同部分群に関するヘッケ作用素:概説

第5章 ヤコビ・テータ関数

5.1 定義と主要な定理
5.2 ヤコビ・テータ関数に関する主要定理の証明
5.3 ガウスの倍角公式
5.4 ヤコビ・テータ関数の無限積表示とその応用
5.5 一般指標のテータ関数とその変換公式

第6章 超幾何微分方程式から導かれる保型関数

6.1 ガウス超幾何微分方程式
6.2 超幾何微分方程式の解の表示
6.3 接続公式および周回行列の明示
6.4 ガウス超幾何微分方程式のシュワルツ写像
6.5 一般化された超幾何関数

第7章 クラインの保型関数とその応用例

7.1 ガウスの算術幾何平均定理とテータ零値についてのヤコビの公式
7.2 Γ1(3) の保型関数
7.3 Γ1(4) の保型形式とヘッケ作用素
7.4 Γ(5) およびΓ1(5) のモジュラー関数と,5 次方程式の解析的解法
7.5 Γ1(6) のモジュラー関数
7.6 Γ(7) とその部分群に関する各種の考察

第8章 超幾何保型関数と高次虚数乗法

8.1 ヒルベルト類体と古典虚数乗法論
8.2 総実体上の4 元数環
8.3 数論的三角群由来の4 元数環における志村虚数乗法論
8.4 単数群Δ(3, 3, 5) の場合の正準模型の明示式とその応用
8.5 高次ヒルベルト類体の実例

演習解答
参考文献
索引
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楕円曲線と保型形式 - N.コブリッツ(著) 上田 勝 (翻訳) 単行本 ¥4,536

内容説明
本書は、「楕円曲線」と「保型形式」という、近年、暗号理論などへの応用が盛んにされている整数論の分野の本格的な入門書兼教科書である。有理数の3辺を持つ直角三角形の面積となる正の整数(合同数)を求めるという、ギリシャ時代以来の問題から入り、それに関連した(yの2乗)=(xの3乗)-n(xの2乗)という具体的な楕円曲線を調べることをモチーフとして、現代の数論のさまざまな理論への入門・解説をしている。著者コブリッツは楕円曲線暗号の創始者。

目次
第1章 合同数から楕円曲線へ
第2章 楕円曲線のハッセ‐ヴェイユL‐関数
第3章 保型形式
第4章 半整数ウェイトの保型形式

著者等紹介
コブリッツ,N.[コブリッツ,N.][Koblitz,Neal]
1969年ハーバード大学卒業。1974年プリンストン大学にてPh.D.を取得。1979年よりワシントン大学(シアトル)で研究を続け、現在、同大学数学科教授。主な研究テーマは、数論の暗号理論への応用

上田勝[ウエダマサル]
京都大学大学院理学研究科博士課程修了。奈良女子大学理学部数学科教授。理学博士。専門は数論、保型形式論

浜畑芳紀[ハマハタヨシノリ]
東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了。東京理科大学理工学部数学科助教授。博士(数理科学)。専門は数論、保型形式論(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

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第1章 合同数から楕円曲線へ
 1.1 合同数
 1.2 ある3次方程式
 1.3 楕円曲線
 1.4 2重周期関数
 1.5 楕円関数体
 1.6 ワイエルシュトラス型の楕円曲線
 1.7 加法演算
 1.8 有限位数の点
 1.9 有限体上の点,および合同数問題
第2章 楕円曲線のハッセ-ヴェイユL-関数
 2.1 合同ゼータ関数
 2.2 Enのゼータ関数
 2.3 素数pの変動
 2.4 原型としてのリーマンゼータ関数
 2.5 ハッセ-ヴェイユL-関数と関数等式
 2.6 臨界値
第3章 保型形式
 3.1 SL2(Z)とその合同部分群
 3.2 SL2(Z)に対する保型形式
 3.3 合同部分群に対する保型形式
 3.4 テータ関数の変換公式
 3.5 格子の関数としての保型形式とヘッケ作用素
第4章 半整数ウェイトの保型形式
 4.1 定義と列
 4.2 Γ-0(4) に対する半整数ウェイトのアイゼンシュタイン級数
 4.3 半整数ウェイト保型形式の上のヘッケ作用素
 4.4 志村,ヴァルズピュジェ,タンネルの定理と合同数問題
    
定価:本体4,200円+税
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代数幾何学入門 上野 健爾 (著) (岩波オンデマンドブックス) ¥5,832

内容説明
本書は代数幾何学の入門のための入門書である。数学のさまざまな分野からの道具立てをもとに華麗に展開される代数幾何学は、初学者には難解な印象を与えてきた。本書はできるだけ少ない準備のもとで、多くの具体例を用いて理論のもつ深い意味を自然に理解してもらえるよう工夫した。付録として可換環と体の理論の初歩を収録。

目次
1 代数幾何学への招待
2 射影空間と射影多様体
3 代数曲線
4 代数曲線の解析的理論

出版社内容情報
射影空間と射影多様体を導入したのち,Riemann‐Rochの定理について述べ,応用上も重要な楕円曲線,合同ゼータ関数の理論を展開する.代数曲線の解析的理論も扱う.豊富な例を用いてていねいに解説した最良の入門書.
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フェルマー予想(岩波オンデマンド) 斎藤 毅(著)¥7,452(「フェルマー予想」解決!)


ワイルスによるフェルマー予想の証明を解説する.20世紀整数論の輝かしい成果と将来展望を示した比類のない労作.


内容説明
350年以上前にフェルマーが本の余白に書き残した「フェルマーの最終予想」は、多くの人の努力のあと非常に高等な数学を用いて1994年に解決された。このワイルスによるフェルマー予想証明を解説。読者が証明の道程で迷わぬよう、複雑な構造を解きほぐして示す。はじめにフェルマー予想証明の大まかなみちすじを提示。フェルマー予想を楕円関数、保型形式などと結びつける。そののち証明に用いるガロア表現など基本的対象を構成し、証明の真髄である定理など詳細を解説、証明を完成させる。


目次

あらすじ
楕円曲線
保型形式
Galois表現
3分点と5分点
R=T
可換環論
変形環
スキームについての補足
Z上のモジュラー曲線
保型形式とGalois表現
Hecke加群
Selmer群


著者等紹介
斎藤毅[サイトウタケシ]
1961年生まれ。1987年東京大学大学院理学系研究科数学専攻退学。現在、東京大学大学院数理科学研究科教授。専攻は数論幾何(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
※書籍に掲載されている著者及び編者、訳者、監修者、イラストレーターなどの紹介情報です。

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フェルマー予想(岩波オンデマンド) 斎藤 毅(著)¥7,452(「フェルマー予想」解決!)

第0章 あらすじ
§0.1 簡単ないいかえ
§0.2 楕円曲線
§0.3 楕円曲線と保型形式
§0.4 楕円曲線の導手と保型形式のレベル
§0.5 楕円曲線の6分点と保型形式

第1章 楕円曲線
§1.1 体上の楕円曲線
§1.2 素数pでの還元
§1.3 準同型とTate加群
§1.4 一般のスキーム上の楕円曲線
§1.5 広義楕円曲線

第2章 保型形式
§2.1 j不変量
§2.2 モジュライ
§2.3 モジュラー曲線,保型形式
§2.4 モジュラー曲線の構成
§2.5 種数公式
§2.6 Hecke作用素
§2.7 q展開
§2.8 準素形式,素形式
§2.9 楕円曲線と保型形式
§2.10 準素形式,素形式とHecke環
§2.11 解析的表示
§2.12 q展開と解析的表示
§2.13 q展開とHecke作用素

第3章 Galois表現
§3.1 Frobenius置換
§3.2 Galois表現と有限群スキーム
§3.3 楕円曲線のTate加群
§3.4 保型的なl進表現
§3.5 分岐条件
§3.6 有限平坦群スキーム
§3.7 楕円曲線のTate加群の分岐
§3.8 保型形式のレベルと分岐

第4章 3分点と5分点
§4.1 定理2.54の証明
§4.2 定理0.1の証明のまとめ

第5章 R=T
§5.1 R=Tとは?
§5.2 変形環
§5.3 Hecke環
§5.4 可換環論
§5.5 Hecke加群
§5.6 定理5.22の証明の概要

第6章 可換環論
§6.1 定理5.25の証明
§6.2 定理5.27の証明

第7章 変形環
§7.1 関手とその表現
§7.2 存在定理
§7.3 定理5.8の証明
§7.4 定理7.7の証明

付録A スキームについての補足

§A.1 いろいろな性質
§A.2 群スキーム
§A.3 有限群による商
§A.4 平坦被覆
§A.5 G捻子
§A,6 閉条件
§A.7 Cartier因子
§A.8 スムーズ可換群スキーム

第8章 Z上のモジュラー曲線

§8.1 標数p〉0の楕円曲線
§8.2 巡回群スキーム
§8.3 Drinfeldレベル構造
§8.4 Z上のモジュラー曲線
§8.5 モジュラー曲線Y(r)z1/r
§8.6 井草曲線
§8.7 モジュラー曲線Y1(N)z
§8.8 モジュラー曲線Y0(N)z
§8.9 コンパクト化

第9章 保型形式とGalois表現

§9.1 Z係数のHecke環
§9.2 合同関係式
§9.3 保型的な法l表現と非Eisensteinイデアル
§9.4 保型形式のレベルとl進表現の分岐
§9.5 旧部分
§9.6 ヤコビアンJ0(Mp)のNéronモデル
§9.7 保型形式のレベルと法l表現の分岐

第10章 Hecke加群

§10.1 充Hecke環
§10.2 Hecke加群
§10.3 命題10.11の証明
§10.4 変形環と群環
§10.5 もちあげの族
§10.6 命題10.37の証明
§10.7 定理5.22の証明

第11章 Selmer群

§11.1 群のコホモロジー
§11.2 Galoisコホモロジー
§11.3 Selmer群
§11.4 Selmer群と変形環
§11.5 局所条件の計算,命題11.38の証明
§11.6 定理11.37の証明

付録B 離散付値環上の曲線

§B.1 代数曲線
§B.2 離散付値環上の準安定曲線
§B.3 離散付値環上の曲線の双対鎖複体

付録C Zp上の有限平坦可換群スキーム

§C.1 Fp上の有限平坦可換群スキーム
§C.2 Zp上の有限平坦可換群スキーム

付録D 代数曲線のヤコビアンとNéronモデル

§D.1 代数曲線の因子類群
§D.2 代数曲線のヤコピアン
§D.3 Abel多様体のNéronモデル
§D.4 曲線のヤコビアンとNéronモデル
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保型形式と整数論 土井公二・三宅 敏恒(著)(三宅 敏恒 著, Modular forms. Springer.)


第1章(上半平面 とFuchs群)
第2章(保型形式)
第3章(L関数)
第4章(modular群 とmodular形式)
第5章 (四元数環のorderの 単数群)
第6章(Hecke作用素のtrance公式)
第7章(Hilbertのmodular形式とゼータ函数の整数点での値)


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数論I――Fermatの夢と類体論 (岩波オンデマンドブックス) - 加藤 和也(著)他


古代ギリシアの時代より人は数のふしぎさに素朴な驚きを持つと同時に惹きつけられてきた.それは数の世界がとても奥深く豊かであるからである.数の世界の深さに気づき数々の発見をなした近代数論の始祖フェルマの仕事を紹介し,さらに深く進化していく現在の数論の動向を解説する.講座現代数学の基礎からの単行本化.
数のもつふしぎさに対する素朴な驚き,それが数論の基本である.近代数論の始祖Fermatの仕事には,この数のふしぎさがよくあらわれている.はじめに Fermatの数論に関する仕事を紹介し,Fermatの発見した個々の事実の背後にひろがる,数の奥深く豊かな世界を見る.さらに現代の数論において重要な対象である楕円曲線,p進数,ζ関数,代数体を取り扱い,これらの基礎の上に数論の中核である類体論の解説をおこなう.岩波講座「現代数学の基礎」からの単行本化.

まえがき 
単行本化にあたって 
  理論の概要と目標 
第0章 序 Fermatと数論 
 §0.1 Fermat以前
 §0.2 素数と2平方和
 §0.3 p=(xの2乗)+2(yの2乗),p=(xの2乗)+3(yの2乗),……
 §0.4 Pell方程式
 §0.5 3角数,4角数,5角数,……
 §0.6 3角数,平方数,立方数
 §0.7 直角3角形と楕円曲線
 §0.8 Fermatの最終定理 
第1章 楕円曲線の有理点 
 §1.1 Fermatと楕円曲線
 §1.2 有理整数環
 §1.3 Mordellの定理 
第2章 2次曲線とp進数体 
 §2.1 2次曲線
 §2.2 合同式
 §2.3 2次曲線と平方剰余記号
 §2.4 p進数体
 §2.5 p進数体の乗法的構造
 §2.6 2次曲線の有理点 
第3章 ζ 
 §3.1 ζ関数の値の3つのふしぎ
 §3.2 正整数での値
 §3.3 負整数での値 
第4章 代数的整数論 
 §4.1 代数的整数論の方法
 §4.2 代数的整数論の核心
 §4.3 虚2次体の類数公式
 §4.4 Fermatの最終定理とKummer 
第5章 類体論とは 
 §5.1 類体論的現象の例
 §5.2 円分体と2次体
 §5.3 類体論の概説 
第6章 局所と大域 
 §6.1 数と関数のふしぎな類似
 §6.2 素点と局所体
 §6.3 素点と体拡大
 §6.4 アデール環とイデール群 
第7章 ζ(Ⅱ) 
 §7.1 ζの出現
 §7.2 RiemannζとDirichlet L
 §7.3 素数定理
 §7.4 Fp[T ]の場合(※Fは黒板書体を表す)
 §7.5 RiemannζとDirichlet L
 §7.6 素数定理の一般的定式化 
第8章 類体論(Ⅱ) 
 §8.1 類体論の内容
 §8.2 大域体,局所体上の斜体
 §8.3 類体論の証明 
付録A Dedekind環のまとめ 
 §A.1 Dedekind環の定義
 §A.2 分数イデアル 
付録B 超楕円曲線とヤコビ多様体 
 §B.1 Galois理論
 §B.2 正規拡大と分離拡大
 §B.3 ノルムとトレース
 §B.4 有限体
 §B.5 無限次Galois理論 
付録C 素点の光 
 §C.1 Henselの補題
 §C.2 Hasseの原理 
  問解答 
  演習問題解答 
  索引 

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数論 II――岩澤理論と保型形式 (岩波オンデマンドブックス) - 黒川 信重(著)他

現代数論の代数的側面をもつ岩澤理論と,解析的側面をもつ保型形式という2つの重要な基礎理論を解説する.さらに楕円曲線の数論を,ワイルズによるフェルマ予想の証明にいたる道筋とそのアイディアの概説を中心に紹介する.現代数論の前線を示した1冊.
現代数論の,解析的側面を持つ保型形式論と代数的側面を持つ岩澤理論という2つの代表的主題の基礎理論が本書のメイン・テーマである.はじめにRamanujanの発見したいくつかの美しい等式を証明することを目標にして,保型形式とは何かを論じ,さらにモジュラー群に対する保型形式について解説する.また群上の保型形式とSelberg跡公式との関係について展望する.そして,現代数論の根幹をなす岩澤理論については,岩澤主予想を中心に解説をおこなう.最後に楕円曲線の数論について,WilesによるFermat予想の証明を概説することを目標にして紹介した.

まえがき 
  理論の概要と目標 
第9章 保型形式とは 
 §9.1 Ramanujanの発見
 §9.2 Ramanujanの⊿と正則Eisenstein級数
 §9.3 保型性とζの関数等式
 §9.4 実解析的Eisenstein級数
 §9.5 Kroneckerの極限公式と正規積
 §9.6 SL2(Z)の保型形式(※Zは黒板書体を表す)
 §9.7 古典的保型形式 
第10章 岩澤理論 
 §10.0 岩澤理論とは
 §10.1 p進解析的ゼータ
 §10.2 イデアル類群と円分Zp拡大(※Zは黒板書体を表す)
 §10.3 岩澤主予想 
第11章 保型形式(II) 
 §11.1 保型形式と表現論
 §11.2 Poisson和公式
 §11.3 Selberg跡公式
 §11.4 Langlands予想 
第12章 楕円曲線(II) 
 §12.1 有理数体上の楕円曲線
 §12.2 Fermat予想 
  参考書 
  問解答 
  演習問題解答 
  索引 

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保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) 吉田 敬之(著) ¥7,344

「志村−谷山予想の一般化」の仕事に感動!!


保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) - 吉田 敬之

目次

Riemannのゼータ函数
Hecke環
楕円函数とモジュラー形式
アデール
p進群の表現論の基礎
保型形式と保型表現
GL(n)の表現のWhittakerモデルとその応用
GL(2)上の保型形式
GL(2)の表現の極大コンパクト部分群への制限
L群と函手性
志村-谷山予想の一般化
モジュラー形式とcohomology群
付録 単因子論とGL(n)の共役類
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保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) - 吉田 敬之

目次詳細

Ⅰ.Riemannのゼータ函数
1.Bernoulli数とEuler−Maclaurin総和法
2.Riemannの方法
3.Riemannのゼータ函数展望
Ⅱ.Hecke環
1.群論的定義
2.合成積代数による定義
3.誘導表現との関係
4.文献
Ⅲ.楕円函数とモジュラー形式
1.楕円函数
2.楕円曲線
3.モジュラー形式(レベル1の場合)
4.モジュラー形式(一般レベルの場合)
5.Hecke作用素とEuler積
6.モジュラー形式のL函数
7.Petersson内積
8.代数多様体のゼータ函数と志村−谷山予想
Ⅳ.アデール
1.大域体のアデール環とイデール群
2.大域体のHecke指標とそのL函数
3.Hecke指標のL函数の函数等式
4.類体論の骨子と若干の応用
5.代数群
6.代数群のアデール化
7.GL(2,QA)上の保型形式
Ⅴ.p進群の表現論の基礎
1.許容表現
2.超函数と指標
3.誘導表現とJacquet函手
4.正規化された誘導表現とユニタリー性
5.不分岐主系列表現
6.球函数とHecke環の構造
7.Tempered表現
Ⅵ.保型形式と保型表現
1.表現のテンソル積分解
2.実reductive Lie群のHecke代数
3.アデール群のHecke代数
4.保型形式と保型表現
5.L2理論との関係
Ⅶ.GL(n)の表現のWhittakerモデルとその応用
1.局所理論−超函数についての準備
2.局所理論−Whittakerモデル
3.Whittaker函数による保型形式の展開
4.文献
Ⅷ.GL(2)上の保型形式
1.Kirillovモデル
2.主系列表現
3.局所函数等式
4.GL(2,R)とGL(2,C)の表現論
5.GL(2)上の保型形式
6.モジュラー形式と表現論
7.文献など
Ⅸ.GL(2)の表現の極大コンパクト部分群への制限
1.基本不等式
2.局所Atkin−Lehner定理
3.基本不等式の応用Ⅰ
4.基本不等式の応用Ⅱ
5.この章の結果について
Ⅹ.L群と函手性
1.函手性原理への道
2.Reductive群
3.Weil群
4.λ進表現とWeil−Deligne群の表現
5.L群
6.函手性原理(局所体の場合)
7.函手性原理(大域体の場合)
8.重複度公式
ⅩⅠ.志村−谷山予想の一般化
1.Hodge群
2.モティーフに付随する局所パラメーター
3.ある基本的cohomology類について
4.志村−谷山予想の一般化
5.実例
6.モティーフ
ⅩⅡ.モジュラー形式とcohomology群
1.群の生成元と基本関係
2.群のcohomology論
3.一変数の場合
4.Hilbertモジュラー形式
5.Hilbertモジュラー形式とcohomology群
6.Parabolic条件と特殊値の計算法
7.計算例
8.この章の結果について

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Silverman, Joseph H(2009)『The Arithmetic of Elliptic Curves』Springer.』(楕円曲線論概説 上・下 (J.H.シルヴァーマン(著)、鈴木 治郎(訳)))

楕円曲線論は、フェルマー予想解決に重要な役割を果たした谷山-志村予想など、最新の整数論と深い関連があり、またICカードへの組込みなど楕円曲線暗号が実用化されるにつれ、応用の立場からも活発に研究が進められている。本書は、楕円曲線論に関する優れたテキスト『楕円曲線論入門』(J.テイトとの共著)で定評のあるJ.H.シルヴァーマンによる好著。


楕円曲線論概説 上 (J.H.シルヴァーマン(著)、鈴木 治郎(訳))

楕円関数とモジュラー関数
  1 モジュラー群
  2 モジュラー曲線X (1)
  3 モジュラー関数
  4 一意化とモジュライの体
  5 楕円関数再び
  6 楕円関数のq 展開
  7 モジュラー関数のq 展開
  8 △(τ)に関するJacobi の積公式
  9 Hecke作用素
  10 モジュラー形式に作用するHecke 作用素
  11 モジュラー形式に付随するL 級数
   練習問題  

虚数乗法
  1 C上の虚数乗法
  2 有理性の問題
  3 類体論-簡単なまとめ
  4 ヒルベルト類体
  5 最大アーベル拡大
  6 j が整であること
  7 円分拡大の類体論
  8 虚数乗法の主定理
  9 付随する量指標
  10 CM楕円曲線に付随するL級数
   練習問題  
完備体上の楕円曲線
  1 C 上の楕円曲線
  2 R 上の楕円曲線
  3 Tate曲線
  4 Tate写像は全射である
  5 p 進体上の楕円曲線
  6 p 進一意化の応用
  7 練習問題  
局所高さ関数
  1 局所高さ関数の存在
  2 標準高さの局所分解
  3 アルキメデス的絶対値-明示公式
  4 非アルキメデス的絶対値-明示公式
  5 練習問題  
いくつかの役に立つ表
  1 ベルヌーイ数とζ(2k)
  2 △(τ)と j (τ)のFourier 係数
  3 虚数乗法をもつQ上の楕円曲線
   練習問題についての注意
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楕円曲線論概説 下 (J.H.シルヴァーマン(著)、鈴木 治郎(訳))

楕円曲面
 1 関数体上の楕円曲線
 2 弱Mordell-Weil定理
 3 楕円曲面
 4 有限体上の楕円曲線の高さ
 5 分裂する楕円曲面と高さ有界の集合
 6 関数体に対するMordell-Weil定理
 7 代数曲面の幾何
 8 ファイバー曲面の幾何
 9 楕円曲面の幾何
 10 代数多様体の高さと因子
 11 楕円曲面に関する特殊化定理
 12 関数体上の楕円曲線の整点
 13 練習問題
Neronモデル
 1 群多様体
 2 スキームとSスキーム
 3 群スキーム
 4 数論的曲面
 5 Neron モデル
 6 Neron モデルの存在
 7 交点理論、極小モデル、ブローアップ
 8 Neron モデルの特殊ファイバー
 9 特殊ファイバーを計算するTateのアルゴリズム
 10 楕円曲線の導手
 11 Ogg の公式
   練習問題
いくつかの役に立つ表
 1 ベルヌーイ数とζ(2k)
 2 △(τ)と j (τ)のFourier 係数
 3 虚数乗法をもつQ上の楕円曲線
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志村五郎 著『Introduction to the theory of automorophic functions』

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代数幾何学 1 2 3 (R.ハーツホーン著 訳 高橋宣能 松下大介)(R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer (1977).の日本語版)


代数幾何学 1 - R.ハーツホーン 単行本 ¥4,104

代数幾何学 2 - R.ハーツホーン 単行本 ¥2,592

代数幾何学 3 - R.ハーツホーン 単行本 ¥3,456



だいたい多項式の零点集合についての話です。(雑すぎる)
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代数幾何学 1 - R.ハーツホーン 単行本 ¥4,104


第1章 多様体
1.1 アファイン多様体
1.2 射影多様体
1.3 射
1.4 有理写像
1.5 非特異多様体
1.6 非特異曲線
1.7 射影空間における交わり
1.8 代数幾何学とは何か

第2章 スキーム
2.1 層
2.2 スキーム
2.3 スキームの基本的性質
2.4 分離射と固有射
2.5 加群の層
2.6 因子
2.7 射影的射
2.8 微分
2.9 形式スキーム


代数幾何学 2 - R.ハーツホーン 単行本 ¥2,592


第3章 コホモロジー
3.1 導来函手
3.2 層のコホモロジー
3.3 Noetherアファインスキームのコホモロジー
3.4 Čechコホモロジー
3.5 射影空間のコホモロジー
3.6 Ext群とExt層
3.7 Serre双対定理
3.8 層の高次順像
3.9 平坦射
3.10 滑らかな射
3.11 形式函数定理
3.12 半連続性定理

代数幾何学 3 - R.ハーツホーン 単行本 ¥3,456


第4章 曲線
4.1 Riemann-Rochの定理
4.2 Hurwitzの定理
4.3 射影空間への埋め込み
4.4 楕円曲線
4.5 標準埋め込み
4.6 P3内の曲線の分類
第5章 曲面
5.1 曲面上の幾何
5.2 浅織曲面
5.3 モノイダル変換
5.4 P3内の三次曲面
5.5 双有理変換
5.6 曲面の分類

付録A 交叉理論
A.1 交叉理論
A.2 Chow環の性質
A.3 Chern類
A.4 Riemann-Rochの定理
A.5 補遺と一般化

付録B 超越的な方法
B.1 付随する複素解析空間
B.2 代数的な圏と解析的な圏の比較
B.3 コンパクト複素多様体はいつ代数的か
B.4 Kähler多様体
B.5 指数完全列

付録C Weil予想
C.1 ゼータ函数とWeil予想
C.2 Weil予想に関する取り組みの歴史
C.3 l進コホモロジー
C.4 Weil予想のコホモロジー論的解釈

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フェルマーの最終定理 の歴史 (証明までの流れ)

概要
定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 (xのn乗)+(yのn乗)=(zの乗) が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」
というものである。

この定理が産声を上げたのは17世紀。フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが、彼の愛読書である『算術』(ディオファントス著)の余白に書き込んだメモがきっかけである。 さらに、

私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。
とのコメントが記してあった。まるで誰かがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され、これらのメモ書き付きで再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理に証明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。証明は困難を極め、いつしかこの定理はフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった(この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあったが、フェルマーが証明したという伝説にちなんで『定理』と呼ばれていた)。

この定理が証明されるまでに、実に350年以上もの歳月を必要とした。

証明したのはイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理(三平方の定理)である。

証明の歴史
<1670年>

全ての元凶 フェルマーの死後、彼の息子が遺品整理の際にフェルマーの注釈(最終定理は48個中2番目)を含めたディオファントスの「算術」(親父が証明したって言ってるけどその証明が残ってない定理一覧)を出版する。

またこの時、フェルマー自身はn=4の時についての証明を書き残していた。

<1770年>

レオンハルト・オイラーがn=4を簡略化し、そこに虚数(二乗すると-1になる数)を使いn=3の時の証明に成功する。

そして、その解法はそれぞれの倍数についても同様に成り立つ為 「全ての素数が成り立たないことを証明する」事でフェルマーの最終定理を証明できるとした。

<1823-1847年>

ソフィ・ジェルマンが「フェルマーの定理が成り立つ時は、x,y,zのいずれかがnで割り切れなければならない」と証明(ソフィ・ジェルマンの定理)

ペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアン・マリー・ルジャンドが、ソフィ・ジェルマンの定理を用いてn=5の時の証明に成功し、ディリクレは「n=14」の時についても証明する。(後にガブリエル・ラメが「n=7」の時の証明に成功する)

そして、1847年に、業を煮やした数学界が「フェルマーの最終定理」に懸賞金を付ける。

これにガブリエル・ラメとオージュスタン=ルイ・コーシーが競い合って証明を完成させようとするが、証明方法の致命的な欠陥をエルンスト・クンマーに指摘され、断念。

クンマー がその欠陥を直した「ぼくのかんがえたさいきょうのかず」(理想数)を提案するが、同時に「この方法(理想数)を用いてもフェルマーの最終定理は証明できない」とも結論付けた。

(懸賞金はクンマーが受け取った)

<1955年>

志村五郎が、友人谷山豊の発想を元に「全ての楕円曲線とモジュラー形式は、ゼータ関数が一致するのではないか」(谷山・志村予想)と提唱し、ラングランズ哲学の観点から注目される。

(ようするに、全然分野の違う二つの数式が似てるけど、もしかしたら繋がってるんじゃないか?という予想)

※ラングランズ哲学・・・全ての物には数学的な規則性や必然性があり、実は全部深い所でつながってるんじゃないの?という考え
※(谷山・志村予想)は、専門家の間では、今は、「志村予想」である。

<1984年>

ゲルハルト・フライが「フェルマーの最終定理を変形させると楕円方程式の形になる」

そして「その変形させた楕円方程式は谷山=志村予想を満たさない」と発表

その後、ジャン・ピエール・セールによって定型化される(フライ・セールのイプシロン予想)

<1986年>
ケン・リベットが「フライ・セールのイプシロン予想」を証明する

これを整理すると

・谷村志村予想は楕円曲線とモジュラー形式がゼータ関数でラングランズ哲学がフライセールのイプシロン予想で

フェルマーの最終定理のx,y,zに正解があるとすれば、谷山=志村予想は満たされない(谷山=志村予想は間違っている)

言い換える(対偶をとる)と、谷山=志村予想が正しいと証明されれば、フェルマーの最終定理のx,y,zを満たす自然数の解は存在しない。

つまり、谷山・志村予想が正しいと証明出来れば、フェルマーの最終定理も証明出来るということになる。

<1993年>

6月23日

当時、岩沢理論における楕円曲線のゼータ関数の一部の証明に成功し、プリンストン大学の教授だったアンドリュー・ワイルズが、ケンブリッジのニュートン研究所の講演会で、証明に成功したと発表。

世間は大騒ぎになるが、のちの論文の審査で欠陥が見つかる。

当初はこの欠陥について、秘密裏に修復しようと沈黙していたが、論文の審査結果も論文自体も公表されないために、世間が混乱する。

<1994年9月19日>
ワイルズ「もう諦めよう…最後に岩澤理論を見直してみ…………!!!!」 
(本人曰く「夢じゃないかと思うような素晴らしい証明」が頭に浮かんだという」) 
(※ 1994年10月に新しい証明を発表。)

<1995年2月13日>
ワイルズの証明に不備がないことが確認され、330年もの歴史に決着がついた。

(※ 1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年2月13日に誤りがないことが確認され、360年に渡る歴史に決着を付けた。)
悪魔の証明
この証明は、300年以上もの間証明されなかったことから悪魔の証明とも呼ばれた。

といっても「証明するのが原理的に不可能」という意味の悪魔の証明ではなく、「数々の数学家を地獄に落とした」という経歴がそう呼ばせるのである。

1847年、クンマーが「現代の数学では不可能」と結論付けてから、1984年にフライ=セール予想が発表され具体的な証明方法が見つかるまでの間も、もちろんこの証明に挑戦する数学家たちは多かった。

特に1900年代に、大富豪ヴォルフスケールが10万マルク(日本円で十数億円)という莫大な懸賞金をこの定理の証明にかけた為、フェルマーの最終定理ブームが起こったほどである。

…がしかし、歴史的に見ても、もちろん証明されていないどころか、特にコレといった発見すらない。

つまり「まったくの無駄な時間」を、この問題に挑戦させた多くの人々に味合わせたのである。

無論、未解決問題の証明には長い長い時間を要する。5年10年では足りないだろう。

だがもし、人生の中の10年という時間をこの問題の証明に費やしても成果が出なかったらどうなるか?

答えは決まって「もっとのめりこむ」のであった。だってすでに10年もの歳月を使ってしまったのだから……。

証明しなければ報われない……だがしかし、証明さえすればこの10年は無駄ではなかった!それどころか十数億!さらには数学界における永遠の栄誉まで手に入る!

…そう信じて、死の直前まで理想を抱いたまま倒れたものがどれだけいただろうか……。

そして、このブームに乗っかったのは数学素人の方が多かったとも言われている。

理由は、この問題の悪魔的要素の一つである「理解のしやすさ」である。

難しい専門用語もなく、理解しがたい数式も無い、たった一行の数式を証明するだけである為に「もしかしたらできちゃうんじゃ」と勘違いする人間が数多く存在した。

さらに、フェルマーの一言「真に驚くべき証明」という言葉から「小難しい理論なんて必要じゃないんじゃない? ひらめき一発で解けるような、そんな問題なんじゃないか?」と勘違いを起こさせた。

実際に、数学者達は「誰も解けてないんだから無理だろう」と諦め、まともに取り組もうとしなかったが、一般人はそうは思わず、一人また一人と地獄送りへなっていった……フェルマー…恐ろしい子…!

一方で、この問題の証明を夢見て数学者の道を志した人間も少なくなく、多くの若者を数学の世界に招き入れたという正の側面も存在する。

最終的に証明に成功したアンドリュー・ワイルズもまた、そういった若者の一人であったのだが、数多の天才が敗れていったこの問題に手を出すことを恩師のジョン・コーツに止められ、数学者になってからしばらくは別の研究を続けていた。

……が、自身の専門分野である楕円曲線の研究がフェルマーの最終定理の内容と繋がることに気付き、それをきっかけにこの問題の証明へとのめり込んでいくいことになる。

ワイルズはこの証明に挑戦するために自室に引きこもり、講義や生徒指導など最低限の仕事しかこなさなくなったと言われている。

それどころか、定期的な発表会でさえ他の研究をしていなかったワイルズは未発表の論文を限りなく薄めて引き延ばすという方法をとり、時間を稼いでいた。

当然、彼の評価は「まともに仕事をしない」「大した成果を出さない」と、失墜していき、同僚からは「人が変わったように無能になった」と言われていた。

そんな生活を、彼は7年も続けていた。彼もまた、もしも結果が出ていなければ、一生を台無しにする所だったのかもしれない…。

(因みに、ヴォルフスケールの懸賞金はワイルズが受け取ったが、当時十数億円と言われた懸賞金は、世界大戦によるハイパーインフレにより500万円ほどの価値であった)
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備忘録 メモ

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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫) / 「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社

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初級・中級者(中高生用)書籍
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫)

整数に関する問題は、問題を理解するのはやさしいが解くのはとてつもな く難しいことが多い。この本の表題ともなっている「フェルマーの最終定理」 の証明もそのような整数問題の1つであり、アマチュア・プロを問わず 300 年もの間、多くの数学者の挑戦を退けてきた問題である。1995 年最終的に 証明を成し遂げた勝者はアンドリュー・ワイルズという数学者であった。し かし、その証明への取り組みは試練に満ちており、7年間の隠密行動、そし て1度は証明できたと発表して、その後証明に穴があることがわかり1年余 りの間、公にさられた状態での穴埋め作業の末ようやく証明完了というドラ マが書かれています。谷山、志村、岩澤、肥田といった日本人数学者もからみ、困難な問題にチャレンジする人間模様を描いた物語として、一読を。

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中級者・上級者向け書籍:「数学者」の感覚として読む
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【書名】「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
( フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書 )
( フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 )
( フェルマーの最終定理 文庫 フェルマーの最終定理 (新潮文庫) サイモン シン(著), 青木 薫 (翻訳) 


1993年6月23日に、プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言し、その後、証明の不備が見つかり、1年以上に苦考の末、1994年9月19日にその修正に成功したこの期間に、著者が証明の解説として数学セミナー読者向けに書いたものを集めたものである。厳密性はないが、極力丁寧に、正確に伝えようとする、著者の誠実さと、理解の深さが伝わってくる。原論文の 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras にも、整数論にも、非常に惹きつけられる内容だった。購入時にも読んだと思われるが、詳しく覚えていないところをみると、理解しようとはしていなかったのかもしれない。むろん、今回も十分な時間をかけて読んだとは言えないが。

以下は備忘録

「砂田利一『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』」(p.37)「ワイルス『ぼくは、フライとリベットの結果を知ったとき、風景が変化したことに気がついた。(中略)この時まで、フェルマの最終定理は、何千年間もそのまま決して解かれることがなく数学がほとんど注目することがない数論の他の[散発的かつ趣味的な]ある種の問題と同じようなものに見えていた。フライとリベットの結果によって、フェルマの最終定理は、数学が無視することのできない重要な問題の結果という形に変貌したのだ。(中略)ぼくにとって、そのことは、この問題がやがて解かれるであろうと言うことを意味していた』」(p.67)「清水英夫著『保型関数I, II, III』、志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』、Knapp『Elliptic curves』、河田敬義著『数論I, II, III』、藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』、上野健爾著『代数幾何学入門』、J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』、土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』、肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』、吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義─』、N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』」(p.123,4)「田口雄一郎さんの手紙に『Deligne さんの家はこの道の始まりのところ、森の入り口にあります。Deligne さんといへども、森羅万象の真理の最奥に至る道のほんの入口のところにゐるに過ぎないといふ、これは自然による卓抜な比喩であると思われます。ところが、恐ろしいことに彼の子供たちは毎日この道を通って森のむかうの学校に通ってゐるらしいのです。』とありました。フェルマーからの350年は大進歩でしたが、人類が続いてゆけば、それは今後何千年の数学の序曲であり、何段も何段も自然の深奥への新しい段階があることでしょう。」(p.239)「ガウス『どのように美しい天文学上の発見も、高等整数論が与える喜びには及ばない』ヒルベルト『数論には古くからの問題でありながら、今日も未解決のものが少なくない。その意味で、多くの神秘を蔵する分野であるが、他方、そこで展開される類体論のような、世にも美しい理論がある』」(p.245)「岩澤健吉『代数体と、有限体上の一変数関数体は、どこまでも似ていると信じてよい』」(p.246)「志村五郎は『整数論いたる所ゼータ関数あり』と述べたが今その言葉に『ゼータ関数のある所 岩澤理論あり』と続けて考えたい」(p.261)『ゼータ関数のある所 肥田理論あり』ともいえる。

「フェルマーの最終定理」を理解したい人(参考 書籍紹介)

N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野健爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義─』
砂田利一著『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』

原論文の
1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 
2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras
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「フェルマーの最終定理」のカギ 「谷山・志村予想」とは
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谷山・志村予想とは

 「有理数体上の楕円曲線(注1)はモジュラー関数(modular function)で一意化(uniformization)される」という命題が,谷山・志村予想と呼ばれているものです.このような形で明確に定式化したのは志村五郎です([11], p. 245).

 円の方程式 (xの2乗)+(yの2乗)=1 は x=cos t, y=sin t とパラメータ表示され,tを実数の範囲で動かすと円上のすべての点が得られますが,このことを円が三角関数で一意化されるといいます.楕円曲線とモジュラー関数についても同様のことが成り立つというのが上の命題の意味です.

 古典的な結果としてすでに,楕円曲線がワイエルシュトラスのペー関数と呼ばれる楕円関数によって一意化されることが知られています.谷山・志村予想によれば,楕円関数の代わりにモジュラー関数が利用できるというわけです.モジュラー関数のような「良い性質」を持つ関数で一意化できると,楕円関数ではできなかったいろいろなことが証明できます.

 予想に谷山の名前が付いているのは,1955年に日光で行われた代数的整数論の国際シンポジウムにおいて谷山豊が楕円曲線と保型形式(automorphic form)との関連について問題の形で言明したことによります.ただし,谷山自身はモジュラー関数だけでは不十分だろうと思っていたようです([5], pp. 188-189, [11], pp. 248-251).

 残念なことに,谷山豊は1958年11月17日に31歳という若さで自殺してしまいました.理由は不明です.さらに,彼の婚約者がそのあとを追って自殺しています.

 谷山・志村予想の呼び方は定まっていません.ここでは「谷山・志村予想」と呼んでいますが,他にも「志村・谷山予想」「志村・谷山・ヴェイユ予想」「谷山・ヴェイユ予想」あるいは単に「ヴェイユ予想」と呼ばれることもあります(注2).ここにフランスの偉大な数学者アンドレ・ヴェイユの名前が登場する理由は,彼がこの予想に関連するいくつかの論文を発表し,大きな業績を上げたからです.

 しかし一方で,数学者サージ・ラングが,この予想に関するヴェイユの発言を徹底的に調べ上げ,その調査結果を「ラング・ファイル」あるいは「谷山・志村ファイル」と呼ばれる文書にまとめたという話は有名です([5],pp. 188-191, [8], pp. 137-157).彼は,ヴェイユが当初予想が成り立つことを信じてはおらず,この予想の成立にはなんの貢献もしていなかったと断定しました.

 モジュラー関数や保型形式の定義については,岩波数学辞典第4版を参照してください.ここでは,モジュラー関数,モジュラー形式はそれぞれ保型関数,保型形式の特別なものであるということだけ注意しておきます.

(注1)楕円曲線とは,x, y を未知数とする方程式

(yの2乗) = (xの3乗) + a(xの2乗) + bx + c (a, b, c は有理数)

で与えられる曲線で,右辺が x の多項式として重根をもたないものをいいます.

(注2)単に「ヴェイユ予想」という場合には,1949年に代数多様体の合同ゼータ関数に対してヴェイユが主張したリーマン予想の類似のことを意味することのほうが多いです.この予想は1973年にベルギーの数学者ドリーニュによって完全に解決されました.

谷山・志村予想の解決

 1980年代,ゲアハルト・フライが「谷山・志村予想が正しければ,フェルマの最終定理も正しい」ということを発表しました([1]).しかし,フライの主張が成立するためには解決しなければならないいくつかの問題があることをジャン・ピエール・セールが指摘しました.その後,ケン・リベットがそれらの問題を解決しました([2]).

 1990年代前半から中頃にかけて,アンドリュー・ワイルズが,半安定(semi-stable)な楕円曲線に対して谷山・志村予想を証明し,その副産物としてフェルマの最終定理を証明しました([3],[4]).

 ワイルズが本格的に谷山・志村予想とフェルマの最終定理の証明にとりかかったのは,リベットがフライの主張を証明したというニュースを聞いた1986年頃だそうです(注3).それから彼は何年もの間,あらゆる他の研究から手を引き,屋根裏の勉強部屋にこもって谷山・志村予想の証明に集中したといいます([5], pp. 192-193, [8], pp. 167-170).

 ワイルズは,谷山・志村予想をガロア表現(注4)の言葉で言い換えることによって証明しました.1993年の時点で,谷山・志村予想の証明をある種のセルマー群(注5)の元の個数を数えることに帰着するところまでは成功していました.そのときには,セルマー群の大きさを評価するのにオイラー系(注6)を利用することを考えていました.しかし,その方法による証明に大きな欠陥が見つかりました.次にヘッケ環を利用する方法で再挑戦し,かつて自分の学生であったリチャード・テイラーと共に証明を完成させました.

 その後,ワイルズの証明を改良することによって,谷山・志村予想に関する成果が次々と発表されました([7],[9]).そしてついに,クリストフ・ブルイユ,ブライアン・コンラッド,フレッド・ダイヤモンド,リチャード・テイラーの4人によって谷山・志村予想が完全に解決されました([10]).

(注3)リベットの論文の出版は1990年ですが,実際にはフライの主張は1986年に証明されています.

(注4)ガロア表現とは,絶対ガロア群から正則行列全体のなす群への準同型写像です. なお,絶対ガロア群とは,有理数体の代数的閉包(=有理数係数の多項式の根の全体からなる体)の,有理数体上のガロア群のことをいいます.

(注5)セルマー群とは,代数的整数論で重要な概念であるイデアル類群を一般化したものです.セルマー群の元の個数を数えることは類数(=イデアル類群の元の個数)を求めることに対応します.なお,本文中でいう「ある種」のセルマー群とは「保型形式に伴うガロア群の2次対称積表現」のセルマー群です([6], p. 15).

(注6)オイラー系はロシアの数学者コリヴァギンによって発明されました.なお,ワイルズはもともと岩澤理論の専門家で,1980年代前半にバリー・メイザーと共に,岩澤理論で重要な「岩澤主予想」を最初に証明しています.そのため岩澤主予想は「メイザー・ワイルズの定理」と呼ばれることもあります.その後1980年代後半にカール・ルービンがオイラー系を用いて岩澤主予想の別証明を得ています.

文献

[1] Frey, G., Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations, Annales Universitatis Saraviensis 1 (1986), 1-40.

[2] Ribet, K. A., On modular representations of Gal(\overline{Q}/Q) arising from modular forms, Invent. Math. 100 (1990), 431-476.

[3] Wiles, A., Modular Elliptic-Curves and Fermat's Last Theorem, Ann. Math. 141 (1995), 443-551.

[4] Taylor, R., Wiles, A., Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras, Ann. Math. 141 (1995), 553-572.

[5] 足立恒雄, フェルマの大定理が解けた!, 講談社, 1995.

[6] 加藤和也, 解決!フェルマの最終定理, 日本評論社, 1995.

[7] Diamond, F. : On deformation rings and Hecke rings, Ann. of Math. 144, 137-166, 1996.

[8] アミール・D・アクゼル(著), 吉永良正(訳), 天才数学者たちが挑んだ最大の難問, 早川書房, 1999.

[9] Conrad, B., Diamond, F., Taylor, R., Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 521-567.

[10] Breuil, C., Conrad, B., Diamond, F., Taylor, R., On the modularity of elliptic curves over Q, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no. 4, 843-939

[11] 志村五郎, 記憶の切繪図, 筑摩書房, 2008
参考 (NHK オンデマンド)
NHKスペシャル 魔性の難問~リーマン予想・天才たちの闘い~


ハイビジョン特集 素数の魔力に囚(とら)われた人々 リーマン予想・天才たちの150年の闘い
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ガロア表現に関する参考資料をまとめます。

ガロア表現サマースクール

整数論サマースクール2009「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」 報告集の原稿ページ

特に以下を読みたい:

[1] 落合 理:プレサマースクール—数論的な体の絶対ガロア群の構造への道先案内—

[2] 山内 卓也:ガロア表現の基礎 I 

[3] 千田 雅隆:ガロア表現の基礎 II

[4] 三枝 洋一:エタールコホモロジーと l 進表現

ガロア表現の数論への応用

[5] 伊藤 哲史:平方数の和で表される素数について

[6] 伊藤 哲史:コホモロジー論とモチーフ

 
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