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数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など、夏休みの研究の話題など、小中高から一般までの話題、「ABC予想」、「リーマン予想」の周辺など 「志村多様体」「保形表現」

2019年06月

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など

天才数学者の頭の中は (志村五郎名誉教授  望月新一教授 など)

天才数学者の頭の中は (志村五郎名誉教授  望月新一教授 など)
志村五郎 スケッチ700ss
(  志村五郎名誉教授  スケッチ)

天才数学者の頭の中はどうなっていたのだろう。

 5月6日の「産経抄」は、こう結ばれていた。「フェルマーの最終定理」の証明につながる重要な予想を提唱した数学者、志村五郎さんが先月初め、89歳で亡くなった。

 志村さんが中国の古典文学や日本の政治思想など数学以外の分野にも関心を寄せ、多くの著作やエッセーを残したことは、産経抄で知った。不勉強を恥じるしかない。

 ◆「宇宙際」って何だ

 今、世界中で最も「頭の中」に関心を持たれている数学者は、京都大学数理解析研究所の望月新一教授(50)だろう。2012(平成24)年に、数学の超難問である「abc予想」を解決したとする論文をインターネット上で発表した。

 「宇宙際タイヒミューラー(IUT)理論」と題するその論文は、あまりにも独創的であるが故に、望月教授に近い少数の研究者以外は数学者といえども理解できず、「未来からきた論文」などと評される。

 IUT理論と「abc予想」の証明が正しいか否かは、発表から7年近くになる現在も決着していないという。

 そんな難解な理論を分かりたいという学究的野心は捨て、天才数学者の頭の中を漠然とのぞいてみたいと思う。

 望月教授はメディアの取材をすべて断っている。手がかりは極めて少ない。望月教授のブログと、KADOKAWAから出版された一般向けの解説書「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」(加藤文元著)を頼りにする。

 まず、「宇宙際」という耳慣れない言葉から想像する。

 国際社会や国際紛争が、複数の国家が接し、せめぎ合う状況で生じるように、宇宙際もいくつもの宇宙がせめぎ合う状況を指すのだろう。


 IUT理論の宇宙は「数学一式」のことだという。望月教授は、単一の数学世界(宇宙)を脱し、いくつもの宇宙を創りだして超難問の解決に挑んだ。


◆たし算とかけ算

 abc予想は、「a+b=c」(a、b、cは自然数)という最も初等的な数式について「たし算」と「かけ算」の関係を述べた予想だ。

 たとえば、「3+5=8(2の3乗)」の場合は、たし算の結果である8と、3・5・8を素因数分解したうえで同じ素数の重複を避けてかけ合わせた結果(この場合は3×5×2=30)を比べる。

 たいていの場合は「かけ算」の方が大きい数字になるが、希(まれ)に「たし算」の方が大きくなる場合(たとえば5+27=32)がある。このような例外は無限に存在するが、「かけ算」の方にいくらかの逆ハンディを与えれば、例外は無くなるか有限個にとどまるだろう、というのが「abc予想」である。

 どうして強い方の「かけ算」に逆ハンディを与えるんだ、と思われるかもしれない。

 数学や理論物理学では、例外を無くすことは重要なテーマなのだ。朝永振一郎博士のノーベル物理学賞(1965年)や広中平祐氏のフィールズ賞(70年)は、例外を解消する理論に対して贈られた。

 IUT理論は、いくつもの宇宙(数学一式)が入り組んだ世界を創り出すことで、たし算とかけ算の関係をひもといた斬新な物語であるという。


 ◆欅坂に注ぐ熱量

 望月教授のブログは更新頻度が低いなか、紅白歌合戦やテレビドラマに関する感想、論考が大きな比重を占めている。

 とくに、欅坂46の「サイレントマジョリティー」とIUT理論を対応させた論考には、並々ならぬ熱量が注がれている。すべては理解できないが、アイドルグループの歌にも「宇宙」が見えるらしい。

 また、ブログでは英語と欧米文化に対するあからさまな嫌悪(アレルギー体質)を、繰り返し表明している。

 数学者の藤原正彦さんの英語・グローバル化教育に対する強い批判が思い浮かぶ。

 5歳で渡米し、学校教育のほとんどを米国で受けた望月教授と、文学者の両親のもとで豊かな日本語教育を受けた藤原さんは、言葉に関しては育った環境が大きく異なる。

 2人の数学者は違う立ち位置から、同じ方角を向いているのか。それとも、結論は似ているけど考え方は対立する関係にあるのか。判断しかねる。

 天才数学者の頭の中は、分からないけど面白そうだ。

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京都大学 数理解析研究所 
ABC予想 望月新一教授 数理解析研究所

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ABC 予想_comm


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5月6日の「産経抄」

数学者の藤原正彦さんは、大学院時代の指導教官から厳命されたそうだ。「フェルマーだけはやるな。数学人生終わりだよ」(『世にも美しい数学入門』ちくまプリマー新書)。

 ▼「(Xのn乗)+(Yのn乗)=(Zのn乗)でnが2より大きい自然数の解はない」。17世紀のフランスの法律家フェルマーは、「証明法をみつけた」とだけ本に書き残していた。この「フェルマーの最終定理」にどれほど多くの数学者が挑み、敗れ去ってきたことか。

 ▼360年後の1994年、米プリンストン大のアンドリュー・ワイルズ教授がようやく証明に成功する。そのカギとなったのが、「谷山・志村予想」と呼ばれる楕円(だえん)曲線に関する理論である。

 ▼谷山豊さんと志村五郎さんは、東大数学科で学術雑誌の貸し借りをきっかけに知り合った。谷山さんは31歳で謎の自殺を遂げる。当時プリンストン大に移っていた志村さんが、谷山さんの研究を引き継いだ。

 ▼藤原さんによれば、奇妙奇天烈で豪快だった谷山さんの理論を、志村さんが10年くらいかけて美しい姿に仕上げた。「谷山は正しい方向に間違えるという、特別な才能に恵まれていた」。親友を評する言葉は、なんとも味わい深い。フェルマーの定理の証明より、志村さんたちの予想の方が、数学への貢献は大きい、との見方さえあるそうだ。

 ▼志村さんは、中国の古典文学に関する研究書など、数学とは関係のない原稿も数多く残している。その一つが「丸山真男という人」と題したエッセーである。戦後の論壇に大きな影響力を持っていた政治学者に対して、歴史認識の誤りや教養の欠如を批判していた。今月3日、89歳で世を去った天才数学者の頭の中はどうなっていたのだろう。

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「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下

(個人的に、「平成30年間」に影響を受けた書籍(一部分))
参考

平成30年の「120冊」  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編)

平成30年間の31冊  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編) 洋書(英語版)

「令和」に伝えたい数学書籍  選  平成30年間の和書・書籍「120冊」(日本語)と洋書・書籍「31冊」(英語版)



参考
2013 1010頃
数学者が読んでいる本ってどんな本 小谷元子(編集) 東京書籍 森重文 (著), 上野健爾 (著), 足立恒雄 (著),砂田利一 (著), 黒川信重 (著),小谷元子 (著, 編集), 益川敏英 (著), 野崎昭弘 (著), & 5 その他 など


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参考

“ことしの本” 大賞に異例の数学解説書 「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」
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超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動 (書籍『宇宙と宇宙をつなぐ数学』)

超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動      (書籍『宇宙と宇宙をつなぐ数学』)
宇宙と宇宙をつなぐ数学 700


    数学に関する本を読んで感動したのは初めてかもしれない。以前、NHKスペシャルで、ロシアの天才数学者グリゴリ・ペレリマンが数学の超難問「ポアンカレ予想」を証明した過程を追ったドキュメンタリー番組『100年の難問はなぜ解けたのか ~天才数学者失踪の謎~』を見て、数学の世界のすさまじさに感心したものだが、それをはるかに上回る衝撃である。

歴史上の天才たちをはるかに凌駕

 2012年8月30日、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、ホームページ上に公開した500頁超に及ぶ4つの論文で、後に「未来から来た論文」と呼ばれることになる全く新しい理論である「宇宙際タイヒミュラー(Inter-Universal Teichmüller Theory)理論」を打ち出し、数学にとって極めて重要な「ABC予想」を解決したと主張して、数学界に激震が走った。

「ABC予想」は、a+b=cを満たす互いに素な自然数の組に関する予想で、「フェルマーの最終定理」(3以上の自然数nについて、(Xのn乗(+(Yのn乗)=(Zのn乗)となる自然数の組は存在しないとする定理)や「ポアンカレ予想」(宇宙の形状解明につながる位相幾何学の予想)に続く数学の超難問であり、これひとつだけで整数論における多くの未解決問題を一度に解決してしまうほどの影響力があると言われている。


 数学の天才はしばしば映画の題材にもなっていて、例えば、『ビューティフル・マインド』のジョン・ナッシュ(ゲーム理論でノーベル経済学賞を受賞)や、『イミテーション・ゲーム』のアラン・チューリング(第二次世界大戦中のチューリングマシンの生みの親)などが取り上げられているが、本書の主人公である望月教授は、彼ら以上に本当はフィクションなのではないかと思わせるほどユニークで突き抜けている。

 評者自身が数学の素人なので断言はできないが、望月教授はこれまで歴史上に登場した数々の天才たちをはるかに凌駕している。数学の世界は一部の天才たちだけの世界だと言われており、上記のNHK番組でも、ペレリマンが精神的に追い詰められて失踪し、結局、数学のノーベル賞と呼ばれるフィールズ賞の授賞式に現れなかったというエピソードが紹介されているが、望月教授にとっては、フィールズ賞さえも最初から関心のらち外だったようだ。

ただ、そもそも「宇宙際タイヒミュラー理論」というものが何なのかを理解できる数学者が世界に10人くらいしかおらず、査読がなかなか進まない関係で、正否の判定には今後数年はかかるだろうと言われている。

「ABC予想」証明の報に最初は興奮していた数学者たちも、この理論があまりにも難解であり、その後しばらくはあきらめムードが漂っていたようなのだが、両者の溝を急速に埋めたのが、望月教授の盟友で本書の著者でもある東京工業大学の加藤文元教授である。京都大学で望月教授の壁打ちの「壁」を長年務めた加藤教授が、この理論について詳しく解説したYouTube動画が公開されていて、こちらも大いに参考になる。

「足し算と掛け算を分離する」

「宇宙際タイヒミュラー理論」については、当然、評者に説明できるようなレベルのものではないのだが、非常に簡潔に言うと、「足し算と掛け算を分離する」ということらしい。もう少し長く説明すると、自然数の足し算と掛け算からなる「環」と呼ばれる複雑な構造をした数学的対象に対して、その「二つの自由度=次元」を引き離して解体し、解体する前の足し算と掛け算の複雑な絡まり合い方の主立った性質を直感的に捉えやすくなるように組み立て直す数学的装置のようなものだそうだ。

 これだけではやはり何のことか分からないと思うので、足し算と掛け算の関係性について少しだけ説明すると、「1を次々に足していく」ことでできる1、2、3・・・という「足し算的な」自然数の捉え方だけでは、自然数の「掛け算的側面」がゴッソリ抜け落ちてしまっているため、例えば、素数というものの性質を把握したり、素数が現れるパターンを記述したりすることはできないらしい。


 素数については、それが約数や倍数という概念を用いて定義されることからも分かるように、すぐれて掛け算的な概念であるために、素数がどのようなタイミングで現れるのかといった問題は、足し算と掛け算の強い結びつきを一回断ち切って、その上で今ある数学の世界と再接続しなければ解決できないというのだ。


このように説明しても、結局は何のことだか分からないかも知れないが、人類がこれまで構築してきた当たり前の数学の世界というものを一度、「脱構築」する必要があるということらしく、数学も突き詰めていくと哲学的な世界に足を踏み入れることになるようだ。

望月教授の独特な哲学

 元々、望月教授は「ABC予想」を証明するために「宇宙際タイヒミュラー理論」を打ち出したのではなく、「ABC予想」の証明という中間目標はあったにせよ、この理論から「ABC予想」が証明されるというのはいわば副産物に過ぎないらしい。

 それほどこの「宇宙際タイヒミュラー理論」は、これまでの数学界の常識を根底から覆す大理論であり、数学の専門家に限らず、知的好奇心の強い人にぜひお勧めしたい。おそらく、後半の理論的な説明の部分はまるで分からないだろうが、前半の「宇宙際タイヒミュラー理論」ができあがっていくエピソード部分だけでも、十分に楽しめると思う。

 また、望月教授のブログもかなり面白いので、こちらもぜひ読んでみることをお勧めしたい。その昔、ビットコインの提唱者サトシ・ナカモトの正体は実は望月教授ではないかと言われたこともあったが、これは本人がブログの中で、もうこれ以上いい加減なこと言うのやめて欲しいと、明確に否定している。


 望月教授の理論への理解がなかなか広がらない理由のひとつに、難解であること以外に、本人があまり海外で講演をしたがらないということがあるようだ。望月教授は5歳でアメリカに移住し、名門フィリップスエクセターを経て、16歳でプリンストン大学へ進学し、19歳で学士課程を卒業し、23歳で博士課程を修了するなど、ほとんどの教育をアメリカで受けていて英語はネイティブであるにも関わらず、日本人が英語でプレゼンテーションすることで受けるであろう誤解を嫌がり、海外からのスピーカーとしての招聘をほとんど断っているそうだ。

 そこには、人間や社会に対する望月教授の独特な哲学が垣間見える。同じく5歳でイギリスに移住したノーベル文学賞受賞者のカズオ・イシグロが、イギリス英語の世界にこだわるのに対して、ブログの中ではっきりと「かなり根源的な人間性の違いを感じます」と書いており、日本人のグローバル化のあり方について考える上でも非常に興味深く読ませてもらった。
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参考

1122 数学「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」

“ことしの本” 大賞に異例の数学解説書 「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」

加藤文元
「ABC予想と新しい数学」

abc Conjecture - Numberphile


Popular Conjecture & Mathematical proof videos 1〜43

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未来からやってきた数学理論「宇宙際タイヒミュラー理論」とは何か

 宇宙際タイヒミュラー理論(Inter-Universal Teichmüller Theory: IUT理論)とは、京都大学の望月新一教授が整数論の非常に難しい予想問題である「ABC予想」に関連して発表した理論で、一般的な数学のパラダイムの枠内では語れない、あまりにも斬新なものであるがゆえに、2012年における600ページを超える論文の発表以来、いまだに数学界の専門家集団をもってしてもその真偽を判断できておらず、正式なジャーナルにもアクセプトされていない、すなわち公式に認められていない理論だとされている。加藤(2019)は、このIUT理論をできるだけわかりやすく一般読者に解説しようと試みているが、この理論が数学界に受け入れられるまでには10年~30年かかるだろうと予想している。


加藤によれば、望月教授のIUT理論は、「斬新で深遠な発想によって、数学の世界に革命を起こそうとしている」「おそらく数学史上も匹敵するものを見出すことが難しいほどの、巨大な影響力をもつイノベーションを起こそうとしている」「従来の数学が相手にすることができなかった、数学の根本的なところにある問題に、新しい光を与えようとし、・・・凄まじい影響力と破壊力を持っている」ものでありながら、実はそれが、誰もが知っている「たし算」と「かけ算」という根本的な概念の絡み合いを捉えなおすというものであり、かつ、数学の専門家でさえ理解できない、というものなのである。まさに、誰も理解できない「未来からやってきた新しい数学」といえるのだが、そんな凄い数学の理論とはいったいどんなものなのだろうか。以下では、そのようなIUT理論の概要について、無謀な試みではあるが加藤による分かりやすい説明をさらに要約することで雰囲気のみをなんとなく理解してみたいと思う。


まずは、IUT理論の特徴の1つである「たし算」と「かけ算」を分離するとはどういうことなのかについて見ていこう。一見何をいっているのかわからないこの特徴についての加藤の解説によれば、ABC予想に代表される整数論において、素数が絡むような「小学生でも理解できるがトップクラスの数学者でも解けないとてつもなく難しい問題」の多くが、「たし算」と「かけ算」が複雑に絡み合っていることを特徴としている。そもそも数においては、それが固有に持っているたし算的な性質とかけ算的な性質が分かち難く結びついてしまっており、その結びつきの強さがかえって、ABC予想という問題を難しくしているのだというのである。


実際、加藤によれば、自然数という数学でもっとも基本的な対象における「たし算とかけ算の関係」というのは、複雑すぎてよくわからない。ある意味、整数論の難しさや深さのすべてが、この「たし算とかけ算の関係」に由来しているといってしまっても過言でないという。人類は「たし算とかけ算の絡み合い」によって生じている多くの問題をまだ解くことができない、人類の中で誰も完全には理解していないとさえいう。したがって、IUT理論では、ABC予想のような、簡単そうな見かけにも関わらず非常に難しく、数学的にもとても深遠な問題を解くために、「たし算とかけ算の絡み合い」を解いて、その間の関係を明らかにすることで、数の世界の深奥の秘密の一端を明らかにし、素数などの自然数に関する深い問題の数多くを解決するためのもっとも基本的な本質的な道筋を示そうということなのである。


では、IUT理論は、たし算とかけ算の関係に対してどのようにアプローチしようとしているのか。このアプローチの方法が、これまでの数学とはまったく異なる、それゆえに(本人以外)まだ誰も完全に理解できていないと思われるIUT理論の特徴を示しているといえる。それを示すのが、宇宙際タイヒミュラー理論の「宇宙際(inter-universe)」という言葉である。数学の宇宙あるいは舞台とは、そこであらゆる活動や思考を行う舞台であり、我々が数学をする上での「数学の一式」とでもいえる。別の言い方をすれば、我々にとっての数学のすべてである。


我々にとって、数学とはいつでも1つの学問であった。つまり、数学の宇宙は1つであった。1つの「数学」という学問としての統一体であったわけである。であるから、数学の研究をする場合も、その1つの数学の宇宙の中で作業をしてきたわけで、そのこと自体を特に意識することもなかった。しかし、IUT理論は、この「数学一式」を複数考えて、それら「舞台」あるいは「宇宙」の間の関係について論じるという、今までの数学の歴史にはなかった、まったく新しいやり方を提案する。複数の数学の舞台(宇宙)を想定することで、たし算とかけ算を別々に扱っても矛盾が起こらないような状況を実現しようとする。1つの舞台(宇宙)で数学をすると、たし算とかけ算を別々に扱うことができない。お互いが分かち難く結びついていて、しかも複雑に絡まりあっている。であるから、それを安直に分離しようとすると、たちまち矛盾が生じてしまう。よって、IUT理論では、そのような矛盾が起こるのを回避するために、複数の舞台(複数の数学の宇宙)で作業するのである。


では、IUT理論では異なる数学の宇宙の関係をどのように理解しようとするのか。異なる数学の宇宙もしくは舞台をつなぐのが、数学の群論を用いた「対称性通信」であると加藤は解説する。IUT理論では、対称性を伝達することで、異なる宇宙(舞台)間の通信を成立させ、それらの間の関係性を構築しようとするのだという。その際、ある数学の宇宙が、別の数学の宇宙から受信した対称性から対象を復元しようとする際に生じる復元の不定性を定量的に計測し、これを実現したい不等式の成立に用いる。そしてこのプロセスはABC予想の証明にもつながってくる。つまり、「伝達・復元・ひずみ」が、宇宙間通信の特徴だと加藤は指摘する。


以上をまとめると、IUT理論は、従来の数学と抜本的に異なる史上初の試みを提案し、それまでの数学の常識を超えた、新しい柔軟性を実現しようとしている。すなわち、たし算とかけ算が絡み合っているがゆえに解けない様々な問題について、「たし算とかけ算を分離して、互いに独立のものとして、別々に扱う」ことで新たな柔軟性を作り出すというアプローチをとる。そのために、これまでにはなかった複数の宇宙を想定する。これは普通の数学には決してできないことを可能にすることを目指しているわけで、そういうことを可能にするための、人類の数学全般に対する一種の提案なのだと捉えることができると加藤は指摘する。これがIUT理論が数学に提案する、非常に重要な発想の転換であると加藤はいう。

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https://www.youtube.com/watch?v=KjvFdzhn7Dc&list=PL6PDU-7OA2gdvu3jhxo1QABgR9SGeCkCb



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参考
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「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下

(個人的に、「平成30年間」に影響を受けた書籍(一部分))

平成30年の「120冊」  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編)

平成30年間の31冊  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編) 洋書(英語版)

「令和」に伝えたい数学書籍  選  平成30年間の和書・書籍「120冊」(日本語)と洋書・書籍「31冊」(英語版)
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自主ゼミ用推薦図書は 「教科の手引き」


http://www2.sci.kyoto-u.ac.jp/lib/syllabus/syllabus02.htm 

数理科学系

書名/著者名
◇教員による(?)コメント 出版社,出版年 備考
数論入門 (現代数学への入門) / 山本芳彦著 岩波書店 , 2003.11 現代数学への入門, 2003-2004
電子ブック
◇整数や素数の基本的な性質からはじめて,合同式,平方剰余の相互法則,2次体の整数論が解説されている。また後半では高度な話題も扱われている。具体例が豊富に載っているので,抽象的な議論に慣れていなくても,手を動かして読み進めることができる。代数学の入門書としても適している。
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体とガロア理論(大学数学の入門;3 代数学 ; 3) / 桂利行著 東京大学出版会 , 2005.9
◇ガロア理論の手軽な入門書。体の理論,拡大体の理論,ガロアの基本定理が扱われた後,応用として代数方程式の可解性や定規とコンパスによる作図可能性が解説されている。大部ではないので,気楽に読み通すことができる。
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Fermatの夢と類体論 (数論 ; 1) / 加藤和也,齋藤毅,黒川信重著 岩波書店 , 2005.1
◇類体論の教科書。『どのような素数が二つの平方数の和で表されるか』といった素朴な問題からはじめて,楕円曲線,p進数,ゼータ関数,アデール・イデールといった概念が導入され,類体論が解説される。続編として,岩澤理論や保型形式論などの高度な話題を扱った「数論Ⅱ」もある。

岩澤理論や保型形式論 (数論 ; 2) / 加藤和也,齋藤毅,黒川信重著 岩波書店
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代数曲線論(講座数学の考え方;18) / 小木曽啓示著 朝倉書店
◇複素数体上の代数曲線(コンパクトリーマン面)の教科書。リーマン球面の定義から始めて,層や層係数コホモロジーの理論が展開され,セールの双対定理やリーマン-ロッホの定理とその応用が扱われる。代数曲線論をきちんと学んでおくと,より高度な代数幾何学を勉強するための足がかりにもなる。
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楕円曲線論入門 / J.Hシルヴァーマン,J.テイト著 ;足立恒雄 [ほか] 訳 シュプリンガー・フェアラーク東京
◇整数論的な楕円曲線論の教科書。有理数体上の楕円曲線の有理点が有限生成アーベル群をなすというモーデルの定理をはじめとした様々な定理が紹介・証明されている。また最後の章では虚数乗法論が解説されている。
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曲線と曲面の微分幾何 (改訂版) / 小林昭七著 裳華房 , 1995.9
◇曲面上の微分幾何学について,ガウスボンネの定理までを丁寧に解説してあり,具体例の計算も豊富に載っている。
//
Using the Borsuk-Ulam theorem : lectures on topological methods in combinatorics and geometry (Universitext). / Jiří Matoušek ; written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler  - 2nd, corr. printing Springer, 2008 電子ブック
◇Borsuk-Ulam の定理というトポロジーにおける初等的な定理の様々な変種や、グラフの彩色数などを含む組み合わせ論の問題への応用を解説する。英語は平易で、直感的にわかりやすい。予備知識は線形代数の初歩だけで、位相空間の知識は必要ない。トポロジーの入門書でもあり、組み合わせ論の解説書でもある。
//
双曲幾何 (現代数学への入門). / 深谷賢治  岩波書店 , 2004.9  電子ブック 
◇線形代数と微積分だけで読める双曲幾何の入門書。双曲幾何とは非ユークリッド幾何の一つで、現代数学で重要な役割を演じている。 
// 
トポロジー入門 (共立講座21世紀の数学 ; 7)/ 小島定吉  共立出版 , 1998.7    
◇曲面を中心にして大学で習うトポロジーについて説明した本。基本群、被覆空間、複体のホモロジーを含む。初歩の群論を使うが、読みながら勉強してもよい。 
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トポロジー (岩波全書 ; 276)./ 田村一郎  岩波書店 , 1972.4    
◇単体複体のホモロジーが非常に丁寧に解説されており、ホモロジーのアイディアや初歩的な扱いを学ぶにはうってつけの本。予備知識は線形代数の初歩だけで、位相空間の知識は必要ない。
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複素解析 / L.V. アールフォルス著 ; 笠原乾吉訳 現代数学社 , 1982.3
◇複素函数論の定評ある入門書。複素数や複素関数から始めて、複素積分、級数展開、等角写像、楕円関数、などの内容が扱われる。複素函関数論には幾何学的な側面と解析的な側面とがあり、両者が良く解説されている。
//
フーリエ解析大全 / T.W. ケルナー著 ; 高橋陽一郎訳 朝倉書店 , 1996.8-2003.3
◇解析学の基礎であるフーリエ解析の理論とその精神を、具体的な応用例を通して解説した本。必要な知識としては、1回生で学習する程度の微分積分学だけでよい。
//
シナイ確率論入門コース / Ya.G. シナイ著 ; 森真訳 丸善出版 , 2012.6
◇確率論の基礎概念や重要な話題について一通り概観することができる良書。つまづきやすい確率論独自の用語や測度論の基礎事項についても、直観的な理解が得られるよう気を配りながら書かれている。本書を通読すれば、測度論や確率論を本格的に学ぶ際に役立つであろう。
//
ルベーグ積分から確率論  (共立講座21世紀の数学 ; 10) / 志賀徳造著 共立出版 , 2000.4
◇確率論に必須のルベーグ積分を解説した後,確率論の基礎から,応用としてランダムウォークを中心とした確率過程を論じている。確率論がコンパクトに概観できる。
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コンピュータの数学 / ロナルド L. グレアム, ドナルド E. クヌース, オーレン パタシュニク [著] ; 有澤誠 [ほか] 訳 共立出版 , 1993.9 原著1st ed. 2nd ed.
◇原題は Concrete Mathematics.いろいろな分野からの楽しく具体的な計算が沢山盛られている。経験豊富な著者たちによって面白く学べる。大学の抽象的数学にショックを受けた人にも数学がそれだけでないという例があることがわかるだろう。コンピュータとは直接関係ないともいえるので,邦訳の題名にとらわれずに見てみるとよい。オイラーの計算に近づけるかもしれない。
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オートマトン言語理論計算論 ; 1 (Information & computing ; 3-4)  / J. ホップクロフト, J. ウルマン共著 ; 野崎昭弘 [ほか] 共訳  第2版

サイエンス社 , 1984.8-1986.3 原著1st ed. 2nd ed.
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◇オートマンと言語理論の解説書として最も有名な1冊。オートマンと正規表現および文脈自由言語の理論について一通りのことを学ぶことができる。例や練習問題もあり、これらを解き進めていくと理解が深まるだろう。
計算論 : 計算可能性とラムダ計算 (コンピュータサイエンス大学講座 ; 24) / 高橋正子著 近代科学社 , 1991.8
◇ラムダ計算について,構文論と意味論の両面から丁寧に解説されている。ラムダ計算に関してある程度専門的な内容まで学ぶことができる。証明等に関しても省略をすること無くきちんと書かれているので,内容を良く吟味しながら読み進めていくのがよいだろう。
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計算論 : 計算可能性とラムダ計算 (コンピュータサイエンス大学講座 ; 24) / 高橋正子著 近代科学社 , 1991.8
◇ラムダ計算について,構文論と意味論の両面から丁寧に解説されている。ラムダ計算に関してある程度専門的な内容まで学ぶことができる。証明等に関しても省略をすること無くきちんと書かれているので,内容を良く吟味しながら読み進めていくのがよいだろう。
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参考

http://www.sci.kyoto-u.ac.jp/ja/_upimg/files/curriculum-guide/2019curriculum-guide.pdf 

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参考 

「令和」に伝えたい数学書籍 選  平成30年間の和書・書籍「120冊」(日本語)と洋書・書籍「31冊」(英語版)
 

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参考
 

数学者が読んでいる本ってどんな本 東京書籍 森重文 (著), 上野健爾 (著), 足立恒雄 (著),砂田利一 (著), 黒川信重 (著),小谷元子 (著, 編集), 益川敏英 (著), 野崎昭弘 (著), & 5 その他 など (2013 10 10)
 

1990年8月21日 「3次元の代数多様体の極小モデル証明」 フィールズ賞を受賞 森重文 教授
 

参考
 

京都 VSOP も祝! 1990年8月21日 「3次元の代数多様体の極小モデル証明」 フィールズ賞を受賞 森重文 教授
 

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参考
 

<論文のマップあれば・・・>「3次元の代数多様体の極小モデル証明」 フィールズ賞を受賞 森重文 教授
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完全理解 「フェルマーの最終定理」の研究  (数学・数理科学分野) (「フェルマーの最終定理の証明」の理解へ)
 

完全理解 「ポアンカレ予想」の研究  (数学・数理科学分野) (「ポアンカレ予想の証明」の理解へ)
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京都賞 受賞記念講演 黒澤 明(思想・芸術部門映画・演劇)、アンドレ・ヴェイユ(基礎科学部門 受賞(数学 整数論・代数幾何学など))国立京都国際会館へ (大学の研究室 教授らとも、京大の友人とも)ame
 

あの頃考えていたこと(学問編)メモvol.2  数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」Jugem
 あの頃考えていたこと(学問編)メモvol.1  数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」 se 

数学 整数論「素数の宇宙の世界」 Dream of G. Shimura? (志村理論:志村多様体・志村ゼータ関数・志村曲線・志村モデル・志村系リフト・・) 【今日の数学者】2月23日生 志村五郎 li
 

1993年6月23日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言 fc2
 1994年9月19日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を修正 li 

1995年2月13日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明(完成)se
 

感動!数学の歴史 「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) ame
 

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参考
 

(個人的に、「平成30年間」に影響を受けた書籍(一部分))

<平成30年の読むべき30冊?「書籍・思索の旅(好書好日)」>平成の30冊、1位に1Q84「平成は村上春樹の時代」
 

平成30年の「120冊」  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編)
 

平成30年間の31冊  個人的セレクト 数学書(数理科学関係 編) 洋書(英語版)
 


平成はどんな時代だったか?「誰もが迷った30年」 確かに、戦争はなかった? しかし、経済戦争には、負けた!(世界企業ランキング: 平成元年 (日本企業は32社) と平成30年 (日本企業は1社))
 

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http://www2.sci.kyoto-u.ac.jp/lib/syllabus/syllabus02.htm
 

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物理科学系

書名/著者名
◇教員によるコメント 出版社,出版年 備考

〔解析力学〕
古典力学 上・下 (新版; 物理学叢書 ; 11a,11b) / ゴールドスタイン著 ; 瀬川富士, 矢野忠, 江沢康生訳 吉岡書店, 1983-1984 初版1959 訂正版1960 改訂版1968
量子力学を学ぶための解析力学入門 / 高橋康著 (増補第2版) 講談社, 2000 初版1978
力学 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程) / ランダウ・リフシッツ 東京図書, 1974
解析力学 1 (朝倉物理学大系 / 荒船次郎 [ほか] 編集 ,1-2) / 山本義隆, 中村孔一  朝倉書店, 1998  電子ブック 
〔量子力学〕
量子論の基礎 : その本質のやさしい理解のために / 清水明著(新版) サイエンス社 , 2004.4 初版2003
量子力学1・2 / 猪木慶治・川合光 講談社, 1994
現代の量子力学 上・下 / J.J. Sakurai著 ; San Fu Tuan編 ; 桜井明夫訳 (第2版) 吉岡書店, 2014-2015 初版1989
〔電磁気学〕
理論電磁気学 / 砂川重信 [著] (第3版) 紀伊國屋書店, 1999 初版 1965 
第2版 1973
電子ブック
〔統計熱力学〕
統計物理学 上、下 / ランダウ, リフシッツ [著] ; 小林秋男 [ほか] 訳 (第3版)

◇学部やや上級向き。 岩波書店, 1980-1980 第2版1966-1967
初版1957-1958
大学演習熱学・統計力学 / 久保亮五編 (修訂版)

◇豊富な問題を解きながら議論するゼミに向いている。ゼミとして解答集を新たに作成する意気込みで臨むと有意義になるだろう。  裳華房, 1998.9 初版1961
統計力学 1,2 / 田崎晴明著

◇全体の構成からとりあげる題材まで丁寧に検討されている素晴らしい本。細部までしっかりと熟読することを薦めたい。
この本だけでほぼ閉じているので標準的なスタイルのゼミに向いている。  培風館 , 2008.12

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場の古典論 : 電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程) / エリ・デ・ランダウ, イェ・エム・リフシッツ著 ; 恒藤敏彦, 広重徹訳 東京図書, 1978.10 増訂新版1964
第7刷1984  1959(商工出版社) 初版1959

アインシュタイン選集 / アインシュタイン [著]
 1. 特殊相対性理論・量子論・ブラウン運動  (アインシュタイン選集 ; 1)  [アインシュタイン著] ; 中村誠太郎, 谷川安孝, 
   井上健訳編 
 2. 一般相対性理論および統一場理論 (アインシュタイン選集 ; 2)  [アインシュタイン著] ; 内山龍雄訳編 共立出版, 1970
量子力学の数学的基礎 / J.V.ノイマン [著] ; 井上健 [ほか] 共訳 みすず書房, 1957.11
スピンはめぐる : 成熟期の量子力学 / 朝永振一郎 [著] ; 江沢洋注 -- 新版 みすず書房 , 2008

活動する宇宙 : 天体活動現象の物理 / 柴田一成[ほか]共編  (第2版)

◇ダイナミックに活動する天体の姿を、観測・理論・シュミレーションの手法から、わかりやすく解説。 裳華房 , 2006 初版 1999

◇学部初級向け
The physical universe : an introduction to astronomy  (A Series of books in astronomy) / Frank H. Shu University Science Books, c1982 *教科の手引きには
1988とあり。
宇宙科学入門 / 尾崎洋二著 (第2版) 東京大学出版会 , 2010.3 初版1996

◇学部上級向け
 宇宙物理学 : 星銀河宇宙論 / 高原文郎著 (新版) 朝倉書店 ,2015.5 初版 1999
シリーズ現代の天文学   全17巻 -第1版-、-第2版- 日本評論社 , 2007-2018
宇宙物理学(朝倉現代物理学講座 13) / 佐藤文隆, 原哲也著 朝倉書店 , 1983.4  
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目標
(1)「整数論と数論幾何と表現論」と「微分幾何とトポロジーと代数幾何」 
純粋数学系としての「フェルマー の最終定理」と「ポアンカレ予想」等証明の完全理解とその発展
 
保型形式と保形表現の整数論
楕円曲線と暗号理論
代数幾何と情報理論
リーマン幾何学と相対性理論
ゼータ関数の統一理論
など

(2)「量子情報」と「金融工学」と「宇宙統一理論」と「科学史と社会学」
社会と数学の関わり系としての「量子コンピュータと暗号理論」と「株・金融市場(伊藤公式)とBSモデル」等の理論とその発展

量子力学と情報理論
確率解析とブラックショールズ公式
超ひも理論と統一理論
量子情報理論
など

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ギャラリー
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