2017年3月23日 3次元リッチフローと幾何学的トポロジー  戸田 正人著 (ポアンカレ予想の証明」の理解へ)


3次元リッチフローと幾何学的トポロジー  戸田 正人著 (ポアンカレ予想へ)

ペレルマンがサーストンの幾何化予想を解決してからすでに10年が経ち,その手法はすでに幾何学の基礎になりつつある。本書ではその手法を最小限の知識を前提として解説することを試みた。
直接解決に用いられたリッチフローの解析について述べるだけでなく,予備知識がない読者でも幾何化予想の内容を無理なく理解できるよう最初にページを割いて3次元多様体論,とくに幾何構造と標準分解について述べた。リッチフローに関しては最大値原理やコンパクト性定理など基本定理について初歩から論じ,これらの準備のもとにペレルマンの主要なアイデアを解説していく。また原論文を読もうとする意欲ある読者の指針となるように,最後に予想の解決の技術的な議論を概観した。
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第1章 幾何構造と双曲幾何
1.1 幾何構造の一般論
1.2 双曲モデルと双曲変換
1.3 双曲三角形の比較定理
1.4 多面体による構成
1.5 体積有限双曲多様体の構造
1.6 ファイバー束の幾何構造
1.7 幾何モデルの分類

第2章 3次元多様体の分解
2.1 PL-構造と微分構造
2.2 3次元多様体内の曲面
2.3 Heegard 分解と素因子分解
2.4 ループ定理と球面定理
2.5 ザイフェルト多様体
2.6 JSJ-分解
2.7 幾何化予想

第3章 リッチフローの基本定理
3.1 方程式と特殊解
3.2 初期値問題
3.3 最大値原理の一般論
3.4 最大値原理の応用
3.5 ヤコビ場の評価
3.6 局所評価
3.7 コンパクト性

第4章 リッチフローの特異性
4.1 局所L-幾何
4.2 局所非崩壊定理
4.3 共役熱方程式とL-幾何
4.4 リーマン幾何からの準備
4.5 非負曲率空間の幾何
4.6 κ解の性質
4.7 κ解の分類
4.8 標準近傍定理
4.9 特異時刻における連結和分解
4.10 長時間挙動

付録 ファイバー束と接続

参考文献/索引
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第1章 幾何構造と双曲幾何
1.1 幾何構造の一般論/1.2 双曲モデルと双曲変換/1.3 双曲三角形の比較定理/1.4 多面体による構成/1.5 体積有限双曲多様体の構造/1.6 ファイバー束の幾何構造/1.7 幾何モデルの分類
第2章 3次元多様体の分解
2.1 PL-構造と微分構造/2.2 3次元多様体内の曲面/2.3 Heegard分解と素因子分解/2.4 ループ定理と球面定理/2.5 ザイフェルト多様体/2.6 JSJ-分解/2.7 幾何化予想
第3章 リッチフローの基本定理
3.1 方程式と特殊解/3.2 初期値問題/3.3 最大値原理の一般論/3.4 最大値原理の応用/3.5 ヤコビ場の評価/3.6 局所評価/3.7 コンパクト性
第4章 リッチフローの特異性
4.1 局所L-幾何/4.2 局所非崩壊定理/4.3 共役熱方程式とL-幾何/4.4 リーマン幾何からの準備/4.5 非負曲率空間の幾何/4.6 κ解の性質/4.7 κ解の分類/4.8 標準近傍定理/4.9 特異時刻における連結和分解/4.10 長時間挙動
付録 ファイバー束と主束の接続

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備忘録


「第1章 幾何構造と双曲幾何」は、大学数学科卒業レベルで読むことはできる。
(  知識がない人は、「線形代数学」、「群論」、「代数的トポロジー(代数的位相幾何学)」、「リー群」、「リーマン幾何学(多様体の初歩)」など「初歩知識があるとよい。)

参考
トポロジー入門 奇妙な図形のからくり (ブルーバックス) - 都筑 卓司 新書 ¥1,080
トポロジー入門 松本幸夫  岩波書店 (トポロジー (位相幾何学) の標準的な教科書)
トポロジー入門 小島定吉 21世紀の数学7,共立出版  (トポロジー (位相幾何学) の標準的な教科書)
トポロジー田村一郎  岩波全書,岩波書店 (3角形分割やホモロジーに詳しい)
3次元の幾何学 小島定吉 (講座 数学の考え方〈22〉) 単行本  ¥3,888
代数的トポロジー 枡田 幹也 講座 数学の考え方〈15〉¥4,536
はじめて学ぶリー群 ―線型代数から始めよう 井ノ口順一 (著) ¥3,024
多様体の基礎 (基礎数学) 単行本 – 松本幸夫 ¥3,456
位相幾何学 加藤十吉 裳華房 ¥4,104
多様体入門 (新装版) 単行本 – 松島 与三 (著) 裳華房 ¥4,752

トポロジー入門

ポアンカレ予想 世界一周してロープを回収できる図形は、球のみか? (イメージつくりに)


「第2章 3次元多様体の分解」は、大学数学科卒業レベルで読むことはできる。
(  知識がない人は、「3次元多様体」、「代数的トポロジー(代数的位相幾何学)」、「リー群」、「リーマン幾何学(多様体の初歩)」など「初歩知識があるとよい。)
「3次元多様体入門(培風館)森元勘治   」ネットPDF版(無料)がよい。
無料公開:3次元多様体入門(培風館): 森元勘治 (数学の専門知識が不足している人用)
http://tunnel-knot.sakura.ne.jp/3-manifolds.html



幾何特論 I( 3次元多様体 )

3次元多様体のトポロジー


「第3章 リッチフローの基本定理」と「第4章 リッチフローの特異性」については、大学院の数学科レベルで読むことはできる。
(  知識がない人は、「リーマン幾何学(微分幾何学入門)」「偏微分方程式(放物型熱方程式を中心に)」を一通り学習しておくと読みやすい)
の書籍があると学習(詳しいが専門的である)がはかどる。

微分幾何 (曲線・曲面とリーマン多様体)

曲線・曲面とリーマン多様体


偏微分方程式:講義ノート

参考
現代微分幾何入門 (基礎数学選書 25) - 野水 克己 単行本 ¥3,888
微分幾何学 (大学数学の世界1) - 今野 宏 単行本 ¥3,888
リーマン幾何学 (数学選書) 酒井隆 ¥6,480
リーマン幾何学 (復刊)立花俊一 ¥3,780

偏微分方程式入門 (基礎数学) - 金子 晃 単行本 ¥3,672
偏微分方程式 佐野 理 東京大学工学教程編纂委員会編 ¥3,024

ポアンカレ予想とリッチフロー

3次元多様体の崩壊とポアンカレ予想

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ポアンカレ予想

ポアンカレ予想 小島定吉 論説


ポアンカレ予想 小沢 誠 講義メモ?

  
ポアンカレ予想はいかにして解決されたか

3次元トポロジー の新展開 リッチフローとポアンカレ予想


ポアンカレ予想 上 書籍(要約)

ポアンカレ予想 下 書籍(要約)

リッチフローと幾何化予想 書評

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2011年6月1日
数理物理シリーズ5  リッチフローと幾何化予想 土屋昭博・砂田利一 共編/小林亮一 著  培風館

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(個人的に、「平成30年間」に影響を受けた書籍(一部分))










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