ボブ・ディランの謎 10月24日 (宇宙の形に関する「ポアンカレ予想」 数学)
ポアンカレ予想 解決




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フランスの数学者、ポアンカレが1904年に提言した、宇宙の形に関する「ポアンカレ予想」は、世界中の学者の挑戦を退けてきた。この「100年の難問」を見事解決したのが、ロシアの数学者、グリゴリー・ペレルマンさんである。

 ▼もっともペレルマンさんは、その偉大な業績以上に、変人ぶりが有名となってしまった。2006年には、数学界のノーベル賞といわれるフィールズ賞を辞退する。70年を超える賞の歴史で初めての珍事だった。どうも人前に出るのが、何より嫌いらしい。

 ▼米国の数学研究所が「ポアンカレ予想」にかけていた、賞金、100万ドル(当時約9000万円)の受け取りさえも拒否している。故郷のサンクトペテルブルクで、母親とひっそり暮らしているそうだ。

 ▼今年のノーベル文学賞は、米国の歌手、ボブ・ディランさんの受賞で大いに盛り上がった。歌詞の芸術的価値について、論争も引き起こした。ところが、当の本人は沈黙を続けたままである。「無礼で傲慢だ」。業を煮やした選考委員がスウェーデンのテレビで、とうとう怒りをぶちまけた。

 ▼これまで自らの意思でノーベル賞を辞退したのは、仏哲学者のサルトル氏と北ベトナムの労働党政治局員レ・ドク・ト氏の2人だけである。果たしてディランさんが、3人目となるのか。話題の中心はそちらに移ってしまった。ディランさんといえば、数々の音楽賞のほか、4年前には、米文民最高位の勲章「大統領自由勲章」を受けている。賞嫌いの変人というわけでは、なさそうだが。

 ▼〈人の行く裏に道あり花の山〉。昨日のコラムで、株式投資の有名な格言を「人の行く道に裏あり」と、誤って記してしまった。まことにお恥ずかしい限りです。

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参考
数学の「ポアンカレ予想」を理解するための,動画・原論文・読み物・PDFのまとめ (ポアンカレからペレルマンまでの流れ)

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以下の書籍で「ポアンカレ予想」の証明の理解に挑戦!

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3次元リッチフローと幾何学的トポロジー  戸田 正人著 (ポアンカレ予想へ)

ペレルマンがサーストンの幾何化予想を解決してからすでに10年が経ち,その手法はすでに幾何学の基礎になりつつある。本書ではその手法を最小限の知識を前提として解説することを試みた。
直接解決に用いられたリッチフローの解析について述べるだけでなく,予備知識がない読者でも幾何化予想の内容を無理なく理解できるよう最初にページを割いて3次元多様体論,とくに幾何構造と標準分解について述べた。リッチフローに関しては最大値原理やコンパクト性定理など基本定理について初歩から論じ,これらの準備のもとにペレルマンの主要なアイデアを解説していく。また原論文を読もうとする意欲ある読者の指針となるように,最後に予想の解決の技術的な議論を概観した。
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第1章 幾何構造と双曲幾何
1.1 幾何構造の一般論
1.2 双曲モデルと双曲変換
1.3 双曲三角形の比較定理
1.4 多面体による構成
1.5 体積有限双曲多様体の構造
1.6 ファイバー束の幾何構造
1.7 幾何モデルの分類

第2章 3次元多様体の分解
2.1 PL-構造と微分構造
2.2 3次元多様体内の曲面
2.3 Heegard 分解と素因子分解
2.4 ループ定理と球面定理
2.5 ザイフェルト多様体
2.6 JSJ-分解
2.7 幾何化予想

第3章 リッチフローの基本定理
3.1 方程式と特殊解
3.2 初期値問題
3.3 最大値原理の一般論
3.4 最大値原理の応用
3.5 ヤコビ場の評価
3.6 局所評価
3.7 コンパクト性

第4章 リッチフローの特異性
4.1 局所L-幾何
4.2 局所非崩壊定理
4.3 共役熱方程式とL-幾何
4.4 リーマン幾何からの準備
4.5 非負曲率空間の幾何
4.6 κ解の性質
4.7 κ解の分類
4.8 標準近傍定理
4.9 特異時刻における連結和分解
4.10 長時間挙動

付録 ファイバー束と接続

参考文献/索引
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第1章 幾何構造と双曲幾何
1.1 幾何構造の一般論/1.2 双曲モデルと双曲変換/1.3 双曲三角形の比較定理/1.4 多面体による構成/1.5 体積有限双曲多様体の構造/1.6 ファイバー束の幾何構造/1.7 幾何モデルの分類
第2章 3次元多様体の分解
2.1 PL-構造と微分構造/2.2 3次元多様体内の曲面/2.3 Heegard分解と素因子分解/2.4 ループ定理と球面定理/2.5 ザイフェルト多様体/2.6 JSJ-分解/2.7 幾何化予想
第3章 リッチフローの基本定理
3.1 方程式と特殊解/3.2 初期値問題/3.3 最大値原理の一般論/3.4 最大値原理の応用/3.5 ヤコビ場の評価/3.6 局所評価/3.7 コンパクト性
第4章 リッチフローの特異性
4.1 局所L-幾何/4.2 局所非崩壊定理/4.3 共役熱方程式とL-幾何/4.4 リーマン幾何からの準備/4.5 非負曲率空間の幾何/4.6 κ解の性質/4.7 κ解の分類/4.8 標準近傍定理/4.9 特異時刻における連結和分解/4.10 長時間挙動
付録 ファイバー束と主束の接続

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