2015年8月25日 保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) 吉田 敬之(著) ¥7,344

「志村−谷山予想の一般化」の仕事に感動!!


保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) - 吉田 敬之

目次

Riemannのゼータ函数
Hecke環
楕円函数とモジュラー形式
アデール
p進群の表現論の基礎
保型形式と保型表現
GL(n)の表現のWhittakerモデルとその応用
GL(2)上の保型形式
GL(2)の表現の極大コンパクト部分群への制限
L群と函手性
志村-谷山予想の一般化
モジュラー形式とcohomology群
付録 単因子論とGL(n)の共役類
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目次詳細

Ⅰ.Riemannのゼータ函数
1.Bernoulli数とEuler−Maclaurin総和法
2.Riemannの方法
3.Riemannのゼータ函数展望
Ⅱ.Hecke環
1.群論的定義
2.合成積代数による定義
3.誘導表現との関係
4.文献
Ⅲ.楕円函数とモジュラー形式
1.楕円函数
2.楕円曲線
3.モジュラー形式(レベル1の場合)
4.モジュラー形式(一般レベルの場合)
5.Hecke作用素とEuler積
6.モジュラー形式のL函数
7.Petersson内積
8.代数多様体のゼータ函数と志村−谷山予想
Ⅳ.アデール
1.大域体のアデール環とイデール群
2.大域体のHecke指標とそのL函数
3.Hecke指標のL函数の函数等式
4.類体論の骨子と若干の応用
5.代数群
6.代数群のアデール化
7.GL(2,QA)上の保型形式
Ⅴ.p進群の表現論の基礎
1.許容表現
2.超函数と指標
3.誘導表現とJacquet函手
4.正規化された誘導表現とユニタリー性
5.不分岐主系列表現
6.球函数とHecke環の構造
7.Tempered表現
Ⅵ.保型形式と保型表現
1.表現のテンソル積分解
2.実reductive Lie群のHecke代数
3.アデール群のHecke代数
4.保型形式と保型表現
5.L2理論との関係
Ⅶ.GL(n)の表現のWhittakerモデルとその応用
1.局所理論−超函数についての準備
2.局所理論−Whittakerモデル
3.Whittaker函数による保型形式の展開
4.文献
Ⅷ.GL(2)上の保型形式
1.Kirillovモデル
2.主系列表現
3.局所函数等式
4.GL(2,R)とGL(2,C)の表現論
5.GL(2)上の保型形式
6.モジュラー形式と表現論
7.文献など
Ⅸ.GL(2)の表現の極大コンパクト部分群への制限
1.基本不等式
2.局所Atkin−Lehner定理
3.基本不等式の応用Ⅰ
4.基本不等式の応用Ⅱ
5.この章の結果について
Ⅹ.L群と函手性
1.函手性原理への道
2.Reductive群
3.Weil群
4.λ進表現とWeil−Deligne群の表現
5.L群
6.函手性原理(局所体の場合)
7.函手性原理(大域体の場合)
8.重複度公式
ⅩⅠ.志村−谷山予想の一般化
1.Hodge群
2.モティーフに付随する局所パラメーター
3.ある基本的cohomology類について
4.志村−谷山予想の一般化
5.実例
6.モティーフ
ⅩⅡ.モジュラー形式とcohomology群
1.群の生成元と基本関係
2.群のcohomology論
3.一変数の場合
4.Hilbertモジュラー形式
5.Hilbertモジュラー形式とcohomology群
6.Parabolic条件と特殊値の計算法
7.計算例
8.この章の結果について

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保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) - 吉田 敬之

書籍 と 「志村理論」の解説

保型形式論 吉田敬之01


 保型形式論 吉田敬之02

保型形式論 吉田敬之03

保型形式論 吉田敬之04

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Ⅰ.Riemannのゼータ函数
1.Bernoulli数とEuler-Maclaurin総和法/2.Riemannの方法/3.Riemannのゼータ函数展望


Ⅱ.Hecke環
1.群論的定義/2.合成積代数による定義/3.誘導表現との関係/4.文献


Ⅲ.楕円函数とモジュラー形式
1.楕円函数/2.楕円曲線/3.モジュラー形式(レベル1の場合)/4.モジュラー形式(一般レベルの場合)/5.Hecke作用素とEuler積/6.モジュラー形式のL函数/7.Petersson内積/8.代数多様体のゼータ函数と志村-谷山予想


Ⅳ.アデール
1.大域体のアデール環とイデール群/2.大域体のHecke指標とそのL函数/3.Hecke指標のL函数の函数等式/4.類体論の骨子と若干の応用/5.代数群/6.代数群のアデール化/7.GL(2,QA)上の保型形式


Ⅴ.p進群の表現論の基礎
1.許容表現/2.超函数と指標/3.誘導表現とJacquet函手/4.正規化された誘導表現とユニタリー性/5.不分岐主系列表現/6.球函数とHecke環の構造/7.Tempered表現


Ⅵ.保型形式と保型表現
1.表現のテンソル積分解/2.実reductive Lie群のHecke代数/3.アデール群のHecke代数/4.保型形式と保型表現/5.L[2]理論との関係


Ⅶ.GL(n)の表現のWhittakerモデルとその応用
1.局所理論-超函数についての準備/2.局所理論-Whittakerモデル/3.Whittaker函数による保型形式の展開/4.文献
Ⅷ.GL(2)上の保型形式


1.Kirillovモデル/2.主系列表現/3.局所函数等式/4.GL(2,R)とGL(2,C)の表現論/5.GL(2)上の保型形式/6.モジュラー形式と表現論/7.文献など


Ⅸ.GL(2)の表現の極大コンパクト部分群への制限
1.基本不等式/2.局所Atkin-Lehner定理/3.基本不等式の応用Ⅰ/4.基本不等式の応用Ⅱ/5.この章の結果について


Ⅹ.L群と函手性
1.函手性原理への道/2.Reductive群/3.Weil群/4.λ進表現とWeil-Deligne群の表現/5.L群/6.函手性原理(局所体の場合)/7.函手性原理(大域体の場合)/8.重複度公式


ⅩⅠ.志村-谷山予想の一般化
1.Hodge群/2.モティーフに付随する局所パラメーター/3.ある基本的cohomology類について/4.志村-谷山予想の一般化/5.実例/6.モティーフ


ⅩⅡ.モジュラー形式とcohomology群
1.群の生成元と基本関係/2.群のcohomology論/3.一変数の場合/4.Hilbertモジュラー形式/5.Hilbertモジュラー形式とcohomology群/6.Parabolic条件と特殊値の計算法/7.計算例/8.この章の結果について
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「保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系) 吉田 敬之(著)」を読むための基礎


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整数論2: 代数的整数論の基礎 - 雪江明彦 単行本 ¥3,672

整数論3: 解析的整数論への誘い - 雪江明彦 単行本(ソフトカバー) ¥3,672

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N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp著『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野健爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
廣中平祐著『代数幾何学』(森重文 記録)
宮西正宣著『代数幾何学』
高瀬幸一著 保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2) 

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さらに、発展学習!
論文集 (志村五郎)
Collected Papers. I: 1954-1965 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95406-6.
Collected Papers. II: 1967-1977 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95416-5.
Collected Papers. III: 1978-1988 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95417-2.
Collected Papers. IV: 1989-2001 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95418-9.
など
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「志村−谷山予想の一般化」について
「志村−谷山予想」は、フェルマー(予想)最終定理の中心的な役割を果たした。
以下に、「フェルマーの最終定理」の書籍を紹介する。

 
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫) / 「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
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文系用読者:「教育者」としてのあの頃の感覚として読む
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫)
整数に関する問題は、問題を理解するのはやさしいが解くのはとてつもな く難しいことが多い。この本の表題ともなっている「フェルマーの最終定理」 の証明もそのような整数問題の1つであり、アマチュア・プロを問わず 300 年もの間、多くの数学者の挑戦を退けてきた問題である。1995 年最終的に 証明を成し遂げた勝者はアンドリュー・ワイルズという数学者であった。し かし、その証明への取り組みは試練に満ちており、7年間の隠密行動、そし て1度は証明できたと発表して、その後証明に穴があることがわかり1年余 りの間、公にさられた状態での穴埋め作業の末ようやく証明完了というドラ マが書かれています。谷山、志村、岩澤、肥田といった日本人数学者もからみ、困難な問題にチャレンジする人間模様を描いた物語として、一読を。
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理系用読者:「数学者」としてのあの頃の感覚として読む
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【書名】「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
( フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書 )
( フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 )
 

  1993年6月23日に、プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言し、その後、証明の不備が見つかり、1年以上に苦考の末、1994年9月19日にその修正に成功したこの期間に、著者が証明の解説として数学セミナー読者向けに書いたものを集めたものである。厳密性はないが、極力丁寧に、正確に伝えようとする、著者の誠実さと、理解の深さが伝わってくる。原論文の 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras にも、整数論にも、非常に惹きつけられる内容だった。購入時にも読んだと思われるが、詳しく覚えていないところをみると、理解しようとはしていなかったのかもしれない。むろん、今回も十分な時間をかけて読んだとは言えないが。
 
以下は備忘録
「砂田利一『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』」(p.37)「ワイルス『ぼくは、フライとリベットの結果を知ったとき、風景が変化したことに気がついた。(中略)この時まで、フェルマの最終定理は、何千年間もそのまま決して解かれることがなく数学がほとんど注目することがない数論の他の[散発的かつ趣味的な]ある種の問題と同じようなものに見えていた。フライとリベットの結果によって、フェルマの最終定理は、数学が無視することのできない重要な問題の結果という形に変貌したのだ。(中略)ぼくにとって、そのことは、この問題がやがて解かれるであろうと言うことを意味していた』」(p.67)「清水英夫著『保型関数I, II, III』、志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』、Knapp『Elliptic curves』、河田敬義著『数論I, II, III』、藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』、上野健爾著『代数幾何学入門』、J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』、土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』、肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』、吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義─』、N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』」(p.123,4)「田口雄一郎さんの手紙に『Deligne さんの家はこの道の始まりのところ、森の入り口にあります。Deligne さんといへども、森羅万象の真理の最奥に至る道のほんの入口のところにゐるに過ぎないといふ、これは自然による卓抜な比喩であると思われます。ところが、恐ろしいことに彼の子供たちは毎日この道を通って森のむかうの学校に通ってゐるらしいのです。』とありました。フェルマーからの350年は大進歩でしたが、人類が続いてゆけば、それは今後何千年の数学の序曲であり、何段も何段も自然の深奥への新しい段階があることでしょう。」(p.239)「ガウス『どのように美しい天文学上の発見も、高等整数論が与える喜びには及ばない』ヒルベルト『数論には古くからの問題でありながら、今日も未解決のものが少なくない。その意味で、多くの神秘を蔵する分野であるが、他方、そこで展開される類体論のような、世にも美しい理論がある』」(p.245)「岩澤健吉『代数体と、有限体上の一変数関数体は、どこまでも似ていると信じてよい』」(p.246)「志村五郎は『整数論いたる所ゼータ関数あり』と述べたが今その言葉に『ゼータ関数のある所 岩澤理論あり』と続けて考えたい」(p.261)『ゼータ関数のある所 肥田理論あり』ともいえる。