つれづれなるままの数学(算数)素数GPSの周辺 iPhoneとAndroid 366 aps

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など、夏休みの研究の話題など、小中高から一般までの話題、「ABC予想」、「リーマン予想」の周辺など 「志村多様体」「保形表現」

2014年08月

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など

数学をいかに教えるか 志村五郎著 (ナンセンスな教育を斬る)

数学をいかに教えるか 志村五郎著      (ナンセンスな教育を斬る) 
志村五郎 先生の 書籍 と 物語ss



   われわれ科学関係者の間でよく話題になるのが、小学校の算数で教わる掛け算の「順序」。算数のテストで3×4を4×3と書いて先生からバツをもらう子供が後を絶たないというのだ。

掛け算の順番は替えてもいいのか、それとも文章に沿う(?)順序でないといけないのか。

実は、これほど結論がはっきりしている問題も珍しい。数学の演算としての掛け算は「交換」できる。つまり、3×4でも4×3でもかまわないのである。数学の計算には「交換できない」ものもある。交換できる掛け算を「交換できない」かのように教えることは、ナンセンス以外の何物でもない。

本書の第3章「掛け算の順序」には次のように書いてある。

「1950年代に一部の教育家が『乗数』と『被乗数』という言葉を発明して『掛け算の順序』という愚劣なことを言い出したのが始まりらしい」

いやはや、困ったものである。

この本は、数学の難しい話も扱っているが、英語や入院の話など、エッセイとして楽しく読むことができる。子供をもつ親御さんと小学校の先生方に、是非とも読んでもらいたい。

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参考 
「数学をいかに教えるか」

概要

前著三冊『数学をいかに使うか』、『数学の好きな人のために』、『数学で何が重要か』の続編。

感想

人の詮索

評者である私にとって、人の詮索は楽しみである。だからこの本を読んだ楽しみのほとんどは、著者が例を出している人の詮索である。 ただ、その詮索のための情報のかなりのところは、 本著者の志村が刊行した前著三冊にあるのではないかと思われる。 評者はこれらを持っていないので、残念である。

例の教授

さて、著者はどんな人を描写しているか。まず、p.030 から

1960年頃東大の三年生の代数の講義の第二学期を教えたことがある. 一学期は例の「実数論を一学期教えた」教授がやってその人が外国に行くことになったので,そのあとを私が引き受けたわけである.

ここで「例の」ということばが出てきているが、その先行事実がわからない。たぶん前著三冊にあるのだろう。

文化庁長官

次は p.035から。

ゆとり教育を言い出した人物のひとりはかつて文化庁長官であった.ある時ザルツブルクを訪れ,知人から Magic flute の切符をもらってそのオペラを観た. 少しも楽しめずに「何しろ台本がまずい」と言った.これは伝聞ではなく,本人が書いたことである.

その後著者はこの文化庁長官をコテンパンにけなしている。さすがにこの元文化庁長官はだれだか私にもわかる。もっとも、 「本人が書いたこと」を確認しているわけではない。

掛け算の順序

つぎに、掛け算の順序について書かれた項を見てみよう。

数学教育で昔からいろいろな場所に顔を出していて, 入門書のようなものをかなり書いた人がいる. ある国立大学の数学科の教授であったが, この人はどこかで使う目的で自分の教室での講演をテープか何かに吹き込んでいた. だから学生には教室で質問することを禁止した. それはそこにいた学生のひとりが私にした話である.

この人に関して見当はつくが、あやふやなのでわからない。その後著者は たぶんこの人が掛け算の順序についてうるさく言いだした連中の主なひとりだと思うがその点はっきりしない. いずれにせよそんなことを平気でする人間であった.と続けている。

この「そんなこと」をいうのが何を指すのか、評者にはよくわからない。「教室で質問したことを禁止した」ことか、 それとも「掛け算の順序についてうるさく言いだした」ことか、ということである。 最初は教室での質問のことを指すのかと思ったが、 著者は「掛け算の順序についてうるさく言いだしたこと」を指すつもりだったと評者は思う。「いずれにせよ」 というのは、「連中の主な一人だと思うがその点はっきりしない」を受けていて、その一人であるか、ないかにかかわらず、 ということを表している。評者の結論はこうだ。掛け算の順序に意味を持たせることが愚劣だと思っている著者は、 気持ちは「そんなこと」を「掛け算の順序についてうるさく言いだした」ことに違いない。ただそれでは論理的には成り立たないので、 表向きは「学生には教室で質問することを禁止した」ことを指すようにもとれる表現を使ったのだろう。

無数の教科書を書いたアメリカ人

次に、誤った公式を教科書に書いたアメリカ人への言及である。p.071 を参照。

次の公式
e(xy)xnexp(πx2)dx=(i)nexp(πy2)-e(-xy)xnexp(-πx2)dx=(-i)nexp(-πy2)
がすべての nZ,>0n,>0 について成り立つ,と思ってそう教科書に書いた人がいる.前に注意した 「無数の教科書を書いたアメリカ人」で,あとの版では n=0,1n=0,1 だけに直したようであるが.

上の式が n=2n=2 以上でも成立するようにするには、エルミート多項式を導入すればよい。詳細は省略する。 なお、このアメリカ人は誰か、想像してみた。ひょっとしてこの人かなと思い、別口から調べてみたら、別のある人もそう思っているらしい。 (以上、人の詮索の項は 2017-12-02 に記す)



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「国際数学連合」に初の日本人総裁 (森重文・京都大数理解析研究所教授(63))

「国際数学連合」に初の日本人総裁 (森重文・京都大数理解析研究所教授(63))/ 【今日の数学者】2月23日はガウスの命日であり、志村-谷山予想の志村五郎先生のお誕生日であり、フィールズ・メダリストの森重文先生のお誕生日です。

期待したいですね!

「国際数学連合」に初の日本人総裁

世界最大の数学者団体「国際数学連合」の総裁に、森重文・京都大数理解析研究所教授(63)が選出された。

韓国・慶州(キョンジュ)市で開かれた総会で11日に決まった。総裁に日本人が就任するのは初めて。任期は2015年1月から4年間。

国際数学連合は4年に1度、国際数学者会議を主催し、「数学のノーベル賞」とも呼ばれるフィールズ賞を発表している。今回の数学者会議は13~21日、ソウルで開かれる。

森教授は名古屋市出身で、専門は代数幾何学。米ハーバード大助教授、名古屋大教授などを経て、1990年から現職。日本人3人目となるフィールズ賞をはじめ、自然科学の研究者に贈られる藤原賞などを受賞している。


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近世日本人数学者列伝~森重文~

その数学者は厳粛な面持ちでメダルを受け取りました。彼こそ日本で3人目のフィールズ賞受賞者、森重文でした。当時大学生だった私はその授賞式を目の当たりにしていました。第21回国際数学者会議(ICM90)は、1990年8月21日から8月29日まで国立京都国際会館で開催されました。9日間に及ぶ大会は、世界中から4000人が参加し、ハイライトである授賞式ではフィールズ賞が森重文、ドリンフェルト、ジョーンズ、ウィッテンの4氏に、ネヴェリンナ賞はラズボロフに与えられ幕を閉じたのでした。
大成功に終わった第21回国際数学者会議(ICM90)を振り返ると、これまでの日本人数学者が築き上げてきた日本の数学が世界をいかにリードしてきたか、つまり日本が数学大国の地位を占めているかを物語っていると言えます。このとき、最初の日本人フィールズ賞受賞者である小平邦彦(連載 第28回、第30回)が組織委員長を務め、二人目のフィールズ賞受賞者広中平祐(連載 第31回、第32回)が森重文の業績紹介を行っています。

先駆者としての小平と広中は世界に認められ日本の数学を牽引してきました。彼らの尽力の甲斐あり、ついに日本で開催されることになった国際数学者会議だったのです。そこで、森重文にフィールズ賞が授与されるというのはベスト・タイミングだったとしかいえません。いくら日本での開催だからといい日本人に受賞させようなどという「あまい」はからいはありえなかったことを言っておかなければなりません。連載第28回でも説明した通り、国際数学者連合(IMU)が数年をかけた慎重な審議を行い受賞者は決定されます。
歴代二人の日本人フィールズ賞受賞者をはじめ、後に第1回ガウス賞を受賞することになる伊藤清(連載参照:「数学~その遙かなる風景~」パート4「数学は言葉」最終回)がICM90 名誉会長、そして2,300名の日本人参加者の中で日本人森重文にフィールズメダルが授与されることはまさに感慨深い思い出でした。

●日本で研究をしたフィールズメダリスト、森重文

1951年 名古屋に生まれる
1973年 京都大学理学部卒
1975年 京都大学理学部助手
1977年 米国ハーバード大学助教授(~1980)
1978年 京都大学にて博士号取得、指導教官は永田雅宜
1979年 ハーツホーン予想を解決
1982年 名古屋大学講師
1983年 日本数学会彌永賞
1984年 中日文化賞受賞
1987年 3次元の代数多様体の極小モデルの存在証明に成功
1988年 日本数学会秋季賞、名古屋大学教授
1990年 フィールズ賞受賞、京都大学数理解析研究所教授、日本学士院学士院賞、文化功労者
1998年 日本学士院会員
2004年 藤原科学財団藤原賞受賞
この経歴をみて気づくことがあります。日本国内での研究だけでフィールズ賞をとったことです。小平邦彦は頭脳流出第一号といわれたほどアメリカでながく研究生活をおくりましたし、広中平祐も同様に世界に飛び出ることで海外の優秀な指導者に巡り会うことができ、フィールズ賞をとることにつながったと言えます。それに対して、森重文は3年間のハーバード大学助教授の経験はあるものの、研究は日本国内で行われています。このことは日本数学の層の厚さを実証することにもなったわけです。真に日本で研究をしてフィールズ賞を受賞した唯一の数学者こそ森重文なのです。

それにしても森重文はどのようにしてフィールズ賞にまでたどり着いたのでしょうか。ひとつのエピソードがそれを教えてくれます。森は東海中学校・高等学校を卒業しています。私は数年前ここで講演をする機会があったのですが、驚いたことにそれは東海中学校の生徒が直接私本人に講演依頼をしたことで実現したのです。そんなことはこれまでにこの東海中学校だけです。学校の先生にきけば、その講演会は例年、中学生に運営のすべてを任せて開催されるとのことでした。私に講演依頼してきた中学生はとてもしっかりした印象でした。なるほど生徒の自主性を重んじる学校の姿勢が本物であり、著名な卒業生のラインナップがそれを物語っています。そのような校風の中、高校生の森重文は月刊誌「大学への数学」の懸賞問題に応募し満点を取りまくっていました。大学紛争で東大の入試が中止になり京大に進んだことも後に大きな運命の分かれ道になりました。京大で広中平祐の代数幾何の講義を受け、その明解さに感銘を受けた森は代数幾何の道に進んで行きました。決してエリート教育を受けたわけでなく、普通の日本の教育の中で森重文は好きな数学の問題を考え続けてきたといえます。日本の教育システムの問題点が語られ続けて久しいですが、森重文の歩んだ道のりを振り返ってみると日本にはちゃんと学問ができる環境はあることがわかってきます。

昨年私は彼に会う機会があり、様々な話を聞くことができました。私が数学は森先生にとって何でしょうかと尋ねたところ、即答してもらえませんでした。そこで、数学は仕事ですかと聞くと、そうではないといい、さらに趣味ですかと聞けば、趣味でもないと答えてくださったことが印象的でした。すぐに、フランスの数学者ポアンカレの言葉を思い出しました。「数学者になることはできない。数学者として生まれるのでなければならない」
次回、森重文・後編では氏の業績「3次元代数多様体の分類」を紹介していきます。 


●フィールズ賞受賞理由「3次元代数多様体の極小モデルの存在定理」


ICM90 会場、国立京都国際会館での舞楽「五節の舞」

フィールズ賞選考委員会委員長ファデーエフからフィールズメダルを受け取る森重文

ICM90 京都で自らの理論を説明する森重文

広中平祐による森重文の業績紹介
森重文の専門は広中平祐(連載第31回、第32回)と同じ代数幾何学です。多項式の零点の集合を代数多様体といいます。例えば図形としての円は、多項式でx2+y2.r2=0 を満たす点(x,y) の集合(零点の集合)と言い換えられます。多項式でx2+y2.r2=0 は2次式なので、その曲線は2次曲線と呼ばれます。多項式x2+ay2.1=0 の零点の集合はa の値によって双曲線、平行線、楕円に分類されます。多項式の係数と多様体(代数曲線)の形の関係が見えてきます。

このように、多項式から多様体(「図形」を一般化・抽象化した概念)をみるのが代数幾何学と呼ばれる分野で、ここでの幾何(図形)を代数多様体といいます。代数幾何学とは、次元の高い(つまり見えない)代数多様体の性質を調べる分野ということになります。そして、「代数多様体の分類」こそ大きな目的となっているのです。森重文自身は次のように説明しています。
代数幾何とは何かは説明しにくいように言われているけれど、四則演算しか使わないのだから、「図形」が目に見えないということを気にしなければ、それほどでもないと思います。代数幾何とは「連立方程式で表される図形」だから、いくつか絵を描いてそんなものだという感じをつかんでもらえればいいんです。抽象画のような絵しか描けないんですけど、論理を追う論理力と想像力というか柔軟さがあれば、そんなに難しいことだとは思いません。
「森重文インタビュー」
(「数学セミナー」1991年2月号臨時増刊 国際数学者会議ICM90 京都、日本評論社)

さて、その代数多様体の分類は多項式の次数が上がるにつれて難易度が急激に増してきます。先ほどの例の「2次曲線の分類」は直交座標をうまく選ぶことがポイントになります。3次以上の代数曲線では、射影変換といわれる手法でやはりうまい座標を選ぶことがポイントになります。このように分類理論を建設するためにさまざまな新しい強力な手法が発見されていくことになりました。小平邦彦(連載第28回、第30回)は解析多様体の分類に成功し、広中平祐は代数多様体の特異点を解消できることを示して代数多様体研究の土台を築き上げたのでした。そして、広中平祐が行った特異点解消理論は「双有理変換」という手法が大きなポイントだったのですが、森重文は新しい手法「端射線の理論」を作り上げて困難とされた3次元多様体の分類と双有理変換の研究を可能にしていきました。そして、ついに1988年に「3次元代数多様体の極小モデルの存在定理」が証明され、1990年のフィールズ賞受賞に至りました。
まさに、小平邦彦、広中平祐の研究の先に森重文が存在していたことになったわけです。この3次元の場合、その分類はだれもよせつけないほどの困難さがあったにもかかわらず、森重文は独自の研究を続け、独創的な手法と独自の研究方針(いわゆる「森プログラム」)をつくりあげていったのです。小平、広中がそうであったように森も自らの状況のすべてを「災い転じて福となす」の行動で道を切り開き突き進んできたといえます。森は若者へのメッセージを次のように答えています。
興味を持ったり疑問に思ったりしたことを大切にすることでしょう。多くの場合、簡単に答えらしいものが出せるかもしれませんが、より良い答を求めて、未決として覚えておくのも大事だと思うんです。そして、研究課題を選んだり解こうとして考えたりする場合に、重要だとか解けそうだとかいうことを考えますが、結局最後に残るのは自分の直観でしょう。ここで直観というのは、要するに好きか嫌いかだと思うんです。自分が好きできた道なら最後の階段での一踏ん張りがきくんじゃないでしょうか。有利だ、不利だということで決めるとなかなかそうはならない。こんなはずじゃなかったとかって。
「森重文インタビュー」
(「数学セミナー」1991年2月号臨時増刊 国際数学者会議ICM90 京都、日本評論社)
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2017 0128
数学者が読んでいる本ってどんな本 小谷元子(編集) 東京書籍

本の街・東京神田神保町「書泉グランデ」の「数学者の書棚」フェア。本書では、2年間のブックフェア選者13人がフェアのために選んだブックリストと、そのなかでも特に思い入れのある書籍に対して、長めの紹介または短めの一言紹介をつけている。コメントの付いた書籍が233冊、ブックリストに挙がった書籍は全950冊と、広い領域をカバー。

2017 0128
森重文 京都大学数理解析研究所
解説あり
1 数学まなびはじめ 第1集・第2集 日本評論社 2006 
2 初等代数幾何講義 リード 岩波書店 1991 
3 現代代数学(3巻) 東京図書 1959 
4 石とりゲームの数理 一松信 森北出版 2003
5 復刻版 近世数学史談・数学雑談 高木貞治 共立 1996 
6 目で見る美しい量子力学 外村彰 
7 凸体と代数幾何学 小田忠雄 紀伊國屋書店 2008 
8 記憶の切繪図 七十五年の回想 志村五郎 筑摩書房 2008 
9 伝えたい大切なこと 産経新聞社編 東洋経済新報社 2006 
10 代数幾何学 広中平祐講義 京都大学学術出版会 2004 
11 可換体論 永田雅宜 裳華房 1967 役立つ 大学新書庫1層
12 集合・位相入門 松坂和夫 岩波 1968 
13 不等式 大関信雄ほか 槇書店 1967 
14 定木による作図 コンパスによる作図 スモゴルジェフスキーほか 東京図書 1964 

リストのみ
1 ヒルベルト 数学の問題 増補版 共立 1969 
2 代数幾何における位相的方法 吉岡書店 2002 
3 双有理幾何学 Kollar 岩波 2008 大学410.8I95.16
4 現代ベクトル解析 ベクトル解析から調和積分へ Nickerson 岩波 1965 
5 ガロアの理論 Postnikov 東京図書 1964 
6 初等代数幾何講義 Lead 岩波 1991
7 現代代数学 3巻 Waerden 東京図書 1959 
8 復刊 近代代数学 秋月康夫ほか 共立 2012 
9 特異点入門 石井志保子 シュプリンガー・ジャパン 1997
10 ルベーグ積分入門 伊藤清三 裳華房 1963 
11 代数函数論 増補版 岩澤健吉 岩波 1973 
12 凸体と代数幾何学 小田忠雄 紀伊國屋書店 2008 
13 代数多様体論 川又雄二郎 共立 1997 
14 理工科系 代数学と幾何学 小松醇郎 共立 1966
15 行列と行列式 佐武一郎 裳華房 1958 
16 方程式論 園正造 至文堂 1948 
17 定本 解析概論 高木貞治 岩波 2010 
18 初等整数論講義 第2版 高木貞治 共立 1971 
19 代数学講義 改訂新版 高木貞治 共立 1965 
20 代数的整数論 第2版 高木貞治 岩波 1971 
21 複素函数論 辻正次 槇書店 1968 
22 保型形式と整数論 土井公二/三宅敏恒 紀伊國屋書店 1976 
23 代数幾何学 中井喜和ほか 共立 1957 
24 復刊 位相幾何学 ホモロジー 中岡稔 共立 1999 
25 可換環論 永田雅宜 紀伊國屋書店 1974 
26 可換体論 永田雅宜 裳華房 1967 
27 理系のための線型代数の基礎 永田雅宜 紀伊國屋書店 1987
28 復刊 アーベル群・代数群 永田雅宜 共立 1999 
29 復刊 抽象代数幾何学 永田雅宜 共立 1999
30 大域変分法 長野正 共立 1971 
31 復刊 現代代数学 服部昭 朝倉書店 2004 
32 多変数解析函数論 一松信 培風館 1960
33 代数幾何学 広中平祐講義 京都大学 2004 
34 ゲージ理論とトポロジー 深谷賢治 丸善出版 2012 
35 数学原論 可換代数3 ブルバキ 東京図書 1986 
36 数学原論 代数3 ブルバキ 東京図書 1977 
37 数学原論 代数4 ブルバキ 東京図書 1969 
38 数学原論 代数5 ブルバキ 東京図書 1969 
39 集合・位相入門 松坂和夫 岩波 1968 
40 復刊 リー環論 松嶋与三 共立 2010 
41 多様体入門 松嶋与三 裳華房 1965 
42 代数幾何学 宮西正宜 裳華房 1990 
43 モース理論 Milor 吉岡書店 2004 
44 モジュライ理論Ⅰ、Ⅱ 向井茂 岩波 2008 
45 解析的整数論Ⅰ 素数分布論 本橋洋一 朝倉書店 2009 
46 不変式論 森川寿 紀伊國屋書店
47 群と位相 横田一郎 裳華房 1971 
48 谷山豊全集 増補版 日本評論社 1994 
49 不等式 大関信雄 槇書店 1967 
50 定木による作図、コンパスによる作図 スモゴルジェフスキー 東京図書 1964 
51 ガロアの夢 群論と微分方程式 久賀道郎 日本評論社 1968 
52 石とりゲームの数理 一松信 森北出版 1957
53 初等的に解いた高等数学の問題 1-4 Yalom 東京図書 1957 
54 復刻版 近世数学史談・数学雑談 共立 1996 
55 量子群とヤン・バクスター方程式 シュプリンガー・ジャパン 1990 
56 数学者ザリスキーの生涯 Prikh シュプリンガー・ジャパン 1996 
57 ガロアの時代 ガロアの数学 第Ⅰ部、Ⅱ部 彌永昌吉 丸善出版 1999
58 数学者の20世紀 彌永昌吉エッセイ集 岩波 2000 
59 アンドレ・ヴェイユ自伝 ある数学者の修行時代 丸善出版 2012 
60 若き日の思い出 彌永昌吉 岩波 2005 
61 目で見る美しい量子力学 外村彰 サイエンス社 2010 
62 確率論と私 伊藤清 岩波 2010 
63 志学数学 井原康隆 丸善出版 2012 
64 小数ができない大学生 国公立大学も学力崩壊 岡部恒治 東洋経済新報社 2000  
65 『博士の愛した数式』 小川洋子 新潮社 2003 
66 クロフツ短編集 Crofts 東京創元社 1965 
67 伝えたい大切なこと 産経 東洋経済新報社 2006 
68 記憶の切繪図 七十五年の回想 志村五郎 筑摩書房 2008
69 数学をいかに使うか 志村五郎 ちくま学芸文庫 2010
70 中国説話文学とその背景 志村五郎 ちくま学芸文庫 2006
71 無所属の時間で生きる 城山三郎 朝日新聞社 2002 
72 数学まなびはじめ 第1集、第2集 日本評論社 2006
73 算数軽視が学力を崩壊させる 西村和雄ほか 講談社 1999 
74 視覚の地平 勝井三雄 宣伝会議 2003
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近世日本人数学者列伝~森重文~(前編)

近世日本人数学者列伝~森重文~(後編)
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私は、志村五郎先生がいいかな。
研究内容がいいからかな。日本のガウスのような人!
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近世日本人数学者列伝~志村五郎~


孤高の数学者

数学オリンピックというのがあるがその問題はすべて人工的で、何か思いがけないうまいやり方を見つけないとできないのである。私はそういうのは好きでない。しかしその企画があった方がよいかない方がよいかというと、それはたぶんあった方がよいのだろう。ただし、本当に数学をやろうとする少年少女達はそんなのは無視して差し支えない。
志村五郎著「記憶の切り繪図」
志村五郎(1930~)は以前に本連載第5回~第9回「フェルマーその頂上への遙かなる道~谷山豊に捧げるレクイエム~」で取り上げた。

1930年 静岡県浜松に生まれる
1952年 東京大学理学部数学科卒業
1957年 パリ、ポアンカレ研究所『近代的整数論』(谷山豊との共著)
1958年 プリンストン高等研究所
1959年 東京大学助教授
1961年 大阪大学教授
1964年 プリンストン大学教授
現在、アメリカ在住、プリンストン大学名誉教授 専門は整数論

志村五郎こそフェルマーの最終定理の証明に必要だった数学者であった。彼の数学が無ければフェルマーの最終予想はずっと予想のままで定理とはならなかったからだ。彼ほど職人としての数学者道を突き進んでいる者を私は見たことがない。本連載でも繰り返し述べてきたことであるが、数学は人によって創られる世界である。けっして公式を覚え習ったとおりの解法に従い答をだせば済むような世界ではない。数の世界の信じられない理解しがたい現象に対峙する時、その背後に潜む仕組みを解き明かそうと思うのが数学者である。自らの直観と技だけを頼りに思考を結晶化させる。はたしてそれは論理の道筋をたどった定理という名の永遠の輝きをもつ宝石が発見されることになる。

志村は一貫して自らの数学を創ってきた。フェルマーの最終定理はいわゆる「谷山・志村予想」をワイルズが証明することで証明された。私が志村と電話で話した時、彼は淡々と、しかしその奥に確かにある憤りをかくすことなく私にくりかえしこういった。「この世界のプロならば私の定理を谷山・志村予想などとは言わない。志村予想と呼ぶ」数学の世界は人がつくっているものだといったが、それが意味するのは人間の業が渦巻く世界であることも意味する。この「谷山・志村予想」は詳しくは本連載第5回~第9回を参照してもらうことにして、志村の友人・同僚であった谷山豊が最初にいったとされる経緯で先に谷山と付けられている。私が知る限り整数論の「プロ」の中でも、今でも「谷山・志村予想」と呼ばれている。日本人のなかで「志村予想」と呼ぶ人を一人も知らない。

しかしだ、志村は言う。私がやってきた論文をちゃんとみればあの予想はすべて私が一人でつくってきたものとわかる、と。君はちゃんと調べて私にものを言っているのか、と志村に何度も言われた。確かに谷山は1955年日光で開催された代数的整数論国際会議で「有理楕円曲線はモジュラーである」と言った。そして、それにはある条件が必要とも言っていた。この言説は精確な予想というよりステートメントに近いものだった。志村はその谷山の言説とは全く関係なく自らの計算を行っていたのだった。そして、ついに「すべての有理楕円曲線はモジュラーである」との精確な予想にたどり着いた。谷山が言っていた「ある条件」は必要ないのである。そのとき語るべき相手谷山はこの世を去っていた。

私は繰り返し志村に尋ねた。「それでも谷山のステートメントがあったからあなたはその研究をしたのではないのですか」と。答は、断固それはない、一切関係がない、であった。事実は有理楕円曲線とモジュラーについてコメントしたのは谷山が最初だった。しかし、それとは一切関係なく、比較にならないほど考えられた末の結果が「すべての有理楕円曲線はモジュラーである」、志村予想だったのだ。その電話インタビューの後2008年に出版されたのが冒頭で紹介した「記憶の切繪図」だった。まさにその中に私が聞きたかったことへの返答が志村らしく精確に事実として述べてある。
ここで「有理数体上の楕円曲線はモジュラー関数で一意化される」という私の予想について説明しておこう。これは一九六四年九月頃に私がふたりの数学者に話したもので、その事はよく知られている。この予想はその三十数年後に証明されて、今では定理になっている。 ところで、これに関係ある言明を谷山豊がしているが、その意味と上記の私の言ったこととの関係を完全に理解している人は数学者も含めてほとんどいないのではないかと思われるので、その事を詳しく説明しよう。また私の口からはっきり言ってほしいと思っている人も多いであろう。
(中略)
私はこの問題に関する限り谷山と議論したことはない。はじめに書いたように私は私流の理論をひとりで構築していたから、彼のこの言明には全く重きをおいていなかった。その上、モジュラー関数以外のヘッケのいう保型形式は役に立たないと始から考えていたから無視していた。実はそれ以外に重要な保型形式があるが、そのことはここで考えない。また私は谷山と共著の本があるが、それは全く無関係である。もうひとつ書くと、一九五五年以後一九六〇年代にかけて、そういう代数曲線のゼータ関数を研究し、それを決定するなどという研究をしたのはおそらく私ひとりであったと思われる。谷山はそういうことはやらなかった。彼はヘッケの論文は読んでいたが、一変数の保型形式・関数の理論を自分のものにしていなかったように思われる。…
志村五郎著「記憶の切り繪図」付録三 あの予想
詳しくは「記憶の切繪図」を読んでもらうのが一番いい。世界のプロ中のプロだけに認められた日本生まれの数学者志村五郎は、つねに自分の信ずる道を進み続けてきた。彼が日本人におくるメッセージを次回は紹介していく。

●日本人は世界で最も想像力に富む国民の中に入るのではないかと思う

志村五郎ほど明解な言葉を語る数学者を私は知らない。数学はそれをあまり知らない人にとっては呪文のようにしかおもえない言葉である。そのことをよく知っている数学者は知らない人に語る言葉が自然と妥協じみたものになってくるのは当然といえる。しかし、志村五郎の語る言葉はいっさいの妥協を許さない。きわめて率直で、精確である。それゆえにその言葉は聞く人の心に響く。

アンドレ・ヴェイユ(1906~1988)という20 世紀を代表するフランスの数学者(思想家シモーヌ・ヴェイユは彼の妹)は多くの日本人数学者と交友関係をもった。中でも志村五郎(1930~)との付き合いは40年に及んだ。1950年代初めすでに世界の数学界の中心にいたヴェイユに、大学を卒業したばかりで助手になりたての志村五郎は一つの論文を送った。それに対してヴェイユから格別の賛辞の返事が届いた。世界一流の数学者に認められてもなお人にそれを語ることをしなかった志村とヴェイユの最初の出会いであった。
前回私は志村は職人であるといった。彼の数学の特徴はとにかく自分の手でつくることを基本としたところにある。自分がいいと認めるもの(彼にとっては定理のような数学的真実)をつくりだすことが最も重要で、他人がそれをどう評価するかが志村の感情を動かすことはなかった。志村は言う。
私は今どんな数学の仕事をしているとか、どんな論文を書いたかなど家族に話したことはない。家族以外でもあまりはなさない。自分で分かっていてそれで十分なのである。
志村五郎著「記憶の切り繪図」
職人である志村の目はずばり人を見抜いた。数学者高木貞治のことを「小人」と言ってのけることができるのは志村五郎だけだろう。数学には他の学問にあるような権威や派閥というものは本質的に存在しない。だから先輩だから年下だからということは数学の議論の中ではいっさい理由にならない。もちろん現実は、たとえ数学の世界といえどもそういったものはある。志村が力もないのに偉そうにしている年寄りを特に嫌った理由はそこにある。
「君子は泰にして驕らず、小人は驕りて泰ならず」という論語の言葉を引き合いにして、高木貞治の偉ぶった態度に失望したことを言っている。志村は学生時代、東大の教授達のやる気のなさにほとほとあきれかえった経験をしていることからもそう思うのは無理がないといえる。GHQ のマッカーサーにいたっては、小人以下であると吐き捨てている。

志村には驚きの現実が突きつけられる。先に述べたヴェイユが、はじめはあり得ないと否定した理論を後になってあたかも自分もそれに貢献したかのような言動をしたのであった。それこそあのフェルマーの最終予想解決のきっかけになった「谷山・志村予想」である。これはもともと谷山豊がいったことにはじまり、志村が精確にした予想であったことからこう呼ばれるようになった。ところが後になり「谷山・ヴェイユ予想」、「谷山・志村・ヴェイユ予想」、などとヴェイユの名前が入り込んできた。挙げ句の果てには「ヴェイユ予想」とも呼ばれることにもなった。
これははじめはまったく理解できなかった「谷山・志村予想」が理解できるようになったヴェイユがいろいろな席でこのことを語るようになったことが原因とされている。それほどヴェイユの権威はあった。すべての事情を知っている唯一の生き証人志村にしてみれば許すことができないことだった。ラングという同僚の数学者が「ヴェイユはこの予想には何の貢献もしていないのではないか」と言ったこともあり、現在ではヴェイユの名前は付けられず、「谷山・志村予想」と一般には呼ばれるようになっている。
しかし、これでも志村の怒りはおさまらない。彼にとっては「谷山」も必要ない。これが前回述べた内容だ。志村五郎ただ一人で考えだされた「谷山・志村予想」は「志村予想」でしかないと志村は言う。私が志村と話をした時には彼はこうもいった、「だから事情を知っているプロの数学者に谷山・志村予想と呼ぶ者はいない。私自身これを「私の予想」と呼ぶ」と。(ここまで読んでくださった読者にはぜひ本連載第5回「フェルマーその頂上への遙かなる道~谷山豊に捧げるレクイエム~」も読んでいただきたい。)

世界を渡り歩いた数学者・志村五郎は、今米国に住み日本を忘れることなく日本人に語りかける。余計なことは決して他人には語らない志村でも、語らなくてはいけない血の気が騒ぐこともある。それは事実と異なる主張に対してである。特に“権威ある年寄り”による祖国日本の未来に関わり、そして危惧される重大な言説には真っ向立ち向かう。冒頭の言葉は71歳の志村が2001年に読売新聞に自ら投稿した文であった。

ことあるたび日本の“権威ある年寄り”たちが自らの祖国をけなす態度に怒りを覚えてきた志村は、またしても聞き捨てならない言葉を目にした。2000年ノーベル賞をとった日本人科学者が、「まねて応用するのは得意だが、創造していないのが日本である」と新聞紙上に語っていたのだ。志村はこれに対して猛然と反駁した。米国から日本人、それも若者に対して次のメッセージを送ったのであった。
昔から「日本人はまねはうまいが、創造力に乏しい」とよく言われる。特に、自然科学の分野では、今日でも著名な学者たちがそう言っている。果たしてそうだろうか。私はその逆に、日本人は世界で最も創造力に富む国民の中に入るのではないかと思う。歴史的にみて、欧米の科学知識を吸収するのに多くの労苦と時間を要したのは当然であって、それを前提として考えると、日本の科学者たちは実によくやっている。
(中略)
もし、本当に日本人が創造力に乏しいというのなら、それを証明して欲しいものである。私にとって不可解なのは、著名な学者までが自国民をけなしている態度である。
考えてもみよ。世界のどこにそんなことを言って喜んでいる国があるか。その上、以前からこの問題を教育方法と結びつけて論じる人がいるが、そこに大きな危険が潜んでいることを指摘したい。
「丸暗記を廃して思考力を高めよ」というスローガンに反対する理由もないが、それを叫ぶのはほとんど無意味である。特に、そこから「教える分量を減らせ」という結論を引き出すのは誤りだ。
(中略)
はじめに戻って欧米人について言うと、彼らの中には、日本人のまねをして、あたかも自分の独創のように上手に宣伝するものがいる。いまもって、彼らが全体としてそうした卑劣な能力を失ったわけではないから、日本人の仕事が公平に評価されていると思ってはならない。
だから宣伝上手になれとは言わないが、若き世代へ私の忠言は、いかなる研究も中途半端にせず、どうしても認めさせずにはおかない水準にまで徹底的にやれということである。創造はしばしば徹底から生まれ、そしてまた、若き諸君にはそれができるはずなのである。
読売新聞2001年11月8日論点より
このメッセージから8年が経った。今の日本は8年前と何かが変わったのだろうか。進歩したのだろうか。志村に聞けばきっと次の返事が返ってくるに違いない。
「何も変わっていない。そのことについては8年前にすでに言ってあるからそれを読んでくれ」と。生ける真の職人、数学者志村五郎は今もなお進化し続けている。米国で、日本を思いながら。
※これで近現代日本人数学者列伝を終わります。次回からは新シリーズが始まります。
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近世日本人数学者列伝~志村五郎~(前編)

近世日本人数学者列伝~志村五郎~(後編)
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参考
近現代日本人数学者列伝~イントロダクション~
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知の``継承''が生む創造力 (志村 五郎 米プリンストン大学名誉教授) 2001年11月8日
 

 
 
 
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6Number(シックス・ナンバー)の世界へ ようこそ!(偉人・有名人の記念日・誕生日)APS数学(APS-Math) 子供と計算

志村 五郎(しむら ごろう、1930年2月23日 - 2019年5月3日)は日本出身の数学者(整数論)。プリンストン大学名誉教授


小・中・高校生(研究課題)

素数の世界へ ようこそ! (APS素数 と GPS素数)


志村五郎先生「誕生日」の「素数の世界」


「ダ・ヴィンチ コード」 6Number (シックスナンバー) を拡張としての「対称性の理論」? 例 1930年2月23日


映画「ダ・ヴィンチ コード」(DVDでみた!) 6Numberと6Prime 「素数の暗号」(志村五郎先生「誕生日」の「素数の世界」解答)


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やや専門的内容 以下
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参考

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/689.html

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/conf/20150817.html

http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~narita/ss2011_proceedings.pdf

http://ntw.sci.u-toyama.ac.jp/ss2017/

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/index.html

https://core.ac.uk/download/pdf/42026066.pdf

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ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。

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夏休みの自由研究 (折り紙と算数・数学) 折り紙のように変形し歩くロボット、米チームが開発

夏休みの自由研究 (折り紙と算数・数学) 折り紙のように変形し歩くロボット、米チームが開発


折り紙と算数・数学 は、夏休みの自由研究にはちょうどいいね! しかも、最近はやりのロボットとは・・。
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Robot, the United States team that walk modified as origami development

From a state in which lying on the ground like paper [AFP = current affairs] of a flat one, and got up to as if alive though, by deforming movement reminiscent of origami art, new this ── walked to crawl the 7th, the research team Harvard University such as (Harvard University) has announced, the robot. That in the future, to contribute search activities in the building collapse site and space exploration, and speeding up the production rate of the assembly line that is expected.

Successful rice Harvard tiny insect robot prototype version, the flight

According to the report, which was published in the United States science journal Science in (Science), and is expected to take many years yet commercialized, but by the technological advances of the latest, breaking new ground in the field of robotics that is customized for individuals that opened.

According researchers belonging (School of Engineering and Applied Sciences, SEAS) in Engineering and Applied Sciences and (Wyss Institute for Biologically Inspired Engineering), Sam Felton to (Sam Felton) Mr. Beith Institute of Harvard University, this robot material costs can be on inexpensive $ 100 slightly (about 10,000 yen), to change the program easily to perform other tasks from the work there.

Robots are made of multiple layers, including paper overlap, wiring is made ??(Method of removing a portion of the thin film) etching layers of copper intermediate. The outer layer is made of a shape memory polymer to bend and fold it warm. And that they are also applicable to the affected areas for shelter and furniture set up by itself.

Robot is scheduled to be unveiled "(International Meeting of Origami Science, Mathematics and Education) science, mathematics, education international conference of 6th origami" in which will be held in Tokyo on 10 to 13 this month.
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折り紙のように変形し歩くロボット、米チームが開発

【AFP=時事】平らな1枚の紙のように地面に横たわった状態から、まるで生きているかのように起き上がり、折り紙アートを思わせる動きで変形して、這うように歩き出す──こんな新型ロボットを、米ハーバード大学(Harvard University)などの研究チームが7日、発表した。将来的に、宇宙探査や建物崩壊現場での捜索活動、組み立てラインの製造速度の高速化などに貢献することが期待されるという。

極小昆虫ロボット試作版、飛行に成功 米ハーバード大

 米科学誌サイエンス(Science)に掲載された報告によると、製品化にはまだ何年もかかる見通しだが、最新の技術進歩によって、個人向けにカスタマイズされたロボット分野の新境地が開けたという。

 ハーバード大のビース研究所(Wyss Institute for Biologically Inspired Engineering)と工学・応用科学科(School of Engineering and Applied Sciences、SEAS)に所属する研究者、サム・フェルトン(Sam Felton)氏によると、このロボットの材料費はわずか100ドル(約1万円)と安価な上に、ある作業から別の作業を実行するように簡単にプログラムを変更することができる。

 ロボットは紙を含む複数の層が重なってできており、中間の銅でできた層はエッチング(薄膜の一部を除去する方法)で配線が作られている。また外側の層は、温めると折り曲がる形状記憶ポリマーでできている。ひとりでに組み上がる家具や被災地用シェルターへの応用も考えられるという。

 ロボットは、今月10~13日に東京で開催される「第6回折り紙の科学・数学・教育国際会議(International Meeting of Origami Science, Mathematics and Education)」で披露される予定だ。


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ロボット 折り紙 - Google News
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2014年8月6日 数学をいかに教えるか (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 文庫 ¥1,026

2014年8月6日 数学をいかに教えるか (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 文庫 ¥1,026

日米両国で長年教えてきた著者が日本の教育を斬る。掛け算の順序、悪い証明と間違えやすい公式のことから外国語の教え方まで。文庫オリジナル書き下ろし第4巻。


目次
0 外国語、特に英語、の教え方
1 いかに教えたか
2 ゆとり教育から勲章まで
3 掛け算の順序
4 昔の教科書からはじめて思いつく話
5 部分積分とその発展
6 悪い証明と間違え易い公式
7 ζ(s)の値
8 L‐関数の値
9 Euler数とEuler多項式
10 『数学で何が重要か』の訂正と類体論について

志村 五郎
シムラ ゴロウ
1930年静岡生れ、東京育ち。1952年東京大学理学部数学科卒業。東京大学助教授、大阪大学教授。プリンストン高等研究所を経て、1964年プリンストン大学教授。現在同大学名誉教授。アーベル多様体の虚数乗法論の高次元化、アーベル多様体のモジュライ理論とモジュライに対応するCM体上のアーベル拡大を記述する保型関数を構成し、志村多様体論を展開。アメリカ数学会コール賞(数論部門)、アメリカ数学会スティール賞(生涯の業績部門)、朝日賞、藤原化学財団藤原賞他受賞。
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数学以外の文学、エッセイなど
『中国説話文学とその背景』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 シ-20-1〉、2006年9月6日。
『記憶の切繪図』筑摩書房、2008年6月25日。 自伝。志村の関心を反映する「切り絵図」(花、動物、絵、料理、歌など) 数点を掲載。
『中国古典文学私選 凡人と非凡人の物語』明徳出版社、2008年10月。
『鳥のように』筑摩書房、2010年3月9日。 『記憶の切繪図』の続編
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2010年12月10日  数学をいかに使うか (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 文庫 ¥1,026

2012年2月1日 数学の好きな人のために―続・数学をいかに使うか (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 ¥1,026 

2013年5月8日 数学で何が重要か (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 文庫 ¥1,026 


2014年8月6日 数学をいかに教えるか (ちくま学芸文庫) - 志村 五郎 文庫 ¥1,026

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志村五郎 (著)  Shimura, Goro 書籍 英語版


志村五郎 (著)   Automorphic Functions and Number Theory. Lecture Notes in Mathematics. 54 (Paperback ed.). Springer. (1968).


志村五郎 (著) Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions (Paperback ed.). Princeton University Press. (1971-08-01). 


志村五郎 (著)  Euler Products and Eisenstein Series. CBMS Regional Conference Series in Mathematics (Paperback ed.). American Mathematical Society. (1997-07-01). 


志村五郎 (著)  Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions (Hardcover ed.). Princeton University Press. (1997-12-08).


志村五郎 (著)  Arithmeticity in the Theory of Automorphic Forms. Mathematical Surveys and Monographs (Paperback ed.). American Mathematical Society. (2000-08-22). 


志村五郎 (著)  Arithmetic and Analytic Theories of Quadratic Forms and Clifford Groups. Mathematical Surveys and Monographs (Hardcover ed.). American Mathematical Society. (2004-03-01). 


志村五郎 (著) Elementary Dirichlet Series and Modular Forms. Springer Monographs in Mathematics (Paperback ed.). Springer New York. (2009-12-28). 



志村五郎 (著)  Arithmetic of Quadratic Forms. Springer Monographs in Mathematics (Hardcover ed.). Springer. (2010-07-15). 

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論文集

Collected Papers. I: 1954-1965 (Hardcover ed.). Springer. (2002). 

Collected Papers. II: 1967-1977 (Hardcover ed.). Springer. (2002). 

Collected Papers. III: 1978-1988 (Hardcover ed.). Springer. (2003). 

Collected Papers. IV: 1989-2001 (Hardcover ed.). Springer. (2003). 

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備忘録 メモ

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ギャラリー
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