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数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など、夏休みの研究の話題など、小中高から一般までの話題、「ABC予想」、「リーマン予想」の周辺など 「志村多様体」「保形表現」

2014年06月

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など

数学者 【世界を驚かせた日本人】岡潔氏 三大問題を解決し世界を驚愕させた大数学者

数学者 【世界を驚かせた日本人】岡潔氏 三大問題を解決し世界を驚愕させた大数学者 
数学 超難問

  岡潔(おか・きよし、1901~78年)は、多変数解析関数の分野で世界的業績をあげた大数学者である。この分野における三大問題を全て独力で解決し、世界の数学者を驚嘆させた。36年以来、フランス語で論文を発表していったが、ヨーロッパの数学者たちはその独創性に驚き、「オカ・キヨシ」を日本の若い数学者の集団ではないかと疑ったほどだった。

 岡は60年に文化勲章を受章し、63年にはエッセー集『春宵十話』を出版、現代日本の心の荒廃を鋭く批判する警世家として注目を集めるようになる。明治維新以来の唯物論的近代合理主義を批判すると同時に、特に敗戦後のエゴイズム肯定と物質主義的繁栄を、仏教でいう「餓鬼道・畜生道に陥ったもの」として否定し、日本人の古来の純粋な心のありようを取り戻すべきだと訴えた。

 近代産業の基礎をなすのは物理学などの自然科学だが、この自然科学の基礎をなすのが数学である。日本は、欧米以外で唯一、独創的数学者を多数輩出してきた国である。アジア出身の数学者がいないわけではないが、彼らは皆、先進国の大学に所属している。

 日本には和算という独自の数学が存在した。その最高峰といわれる関孝和(せき・たかかず、1640~1708年)は江戸中期に方程式・行列式の理論を構築したうえ、ニュートンやライプニッツと同時期に微積分学の基礎を打ち立てた。日本人のDNAには確かに数学の才能が存在する。

数学界にはフィールズ賞という4年に1度、40歳以下の優れた数学者に与えられる賞がある。ノーベル賞を上回るとも言われる最高の栄誉を受賞した日本人数学者は、小平邦彦(こだいら・くにひこ、1915~97年)、広中平祐(ひろなか・へいすけ、31年~)、森重文(もり・しげふみ、51年~)と3人いる。

 小平は、岡の業績をいち早く取り入れ、広中も岡から貴重なアドバイスを得て、これがフィールズ賞受賞の業績となった。

 また、第1回ガウス賞(2006年)受賞の名誉に輝いたのが伊藤清(いとう・きよし、1915~2008年)である。伊藤の確率解析の業績は、20世紀における主要な数学的革新の1つであり、物理学・工学はもとより、生物学・経済学から金融工学にも応用されている。ガウス賞は、数学的業績が数学以外の広汎な分野に多大の影響を与えた数学者を顕彰するためのもので、受賞は4年に1度である。

 フェルマーの最終定理やポアンカレ予想は証明されたが、現代の数学に未解明のまま残された問題のうち、最重要といわれているのが整数の理論「ABC予想」である。

 京大教授の望月新一(もちづき・しんいち、1969年~)は2012年9月、「ABC予想」を証明する論文をインターネット上で公開し、世界を驚かせた。今、世界中の専門家がこの証明の正しさを判定する査読を行っている。

 数学は最新の科学技術の進歩を促す原動力である。まして、ITは数学の直接の応用分野である。工業国・日本を根底で支える日本の数学者たちの挑戦は続く。

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 フェルマーの最終定理も「日本人」

(谷山・志村予想 の志村五郎(志村理論の志村多様体、志村ゼータ関数・・・)、ワイルズの解決理論に「岩澤理論」の岩澤健吉)

フェルマーの最終定理 の歴史 (証明までの流れ)


概要
定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 xのn乗+yのn乗=zの乗 が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」
というものである。

この定理が産声を上げたのは17世紀。フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが、彼の愛読書である『算術』(ディオファントス著)の余白に書き込んだメモがきっかけである。 さらに、

私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。
とのコメントが記してあった。まるで誰かがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され、これらのメモ書き付きで再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理に証明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。証明は困難を極め、いつしかこの定理はフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった(この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあったが、フェルマーが証明したという伝説にちなんで『定理』と呼ばれていた)。

この定理が証明されるまでに、実に350年以上もの歳月を必要とした。

証明したのはイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理(三平方の定理)である。

証明の歴史
<1670年>

全ての元凶 フェルマーの死後、彼の息子が遺品整理の際にフェルマーの注釈(最終定理は48個中2番目)を含めたディオファントスの「算術」(親父が証明したって言ってるけどその証明が残ってない定理一覧)を出版する。

またこの時、フェルマー自身はn=4の時についての証明を書き残していた。

<1770年>

レオンハルト・オイラーがn=4を簡略化し、そこに虚数(二乗すると-1になる数)を使いn=3の時の証明に成功する。

そして、その解法はそれぞれの倍数についても同様に成り立つ為 「全ての素数が成り立たないことを証明する」事でフェルマーの最終定理を証明できるとした。

<1823-1847年>

ソフィ・ジェルマンが「フェルマーの定理が成り立つ時は、x,y,zのいずれかがnで割り切れなければならない」と証明(ソフィ・ジェルマンの定理)

ペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアン・マリー・ルジャンドが、ソフィ・ジェルマンの定理を用いてn=5の時の証明に成功し、ディリクレは「n=14」の時についても証明する。(後にガブリエル・ラメが「n=7」の時の証明に成功する)

そして、1847年に、業を煮やした数学界が「フェルマーの最終定理」に懸賞金を付ける。

これにガブリエル・ラメとオージュスタン=ルイ・コーシーが競い合って証明を完成させようとするが、証明方法の致命的な欠陥をエルンスト・クンマーに指摘され、断念。

クンマー がその欠陥を直した「ぼくのかんがえたさいきょうのかず」(理想数)を提案するが、同時に「この方法(理想数)を用いてもフェルマーの最終定理は証明できない」とも結論付けた。

(懸賞金はクンマーが受け取った)

<1955年>

志村五郎が、友人谷山豊の発想を元に「全ての楕円曲線とモジュラー形式は、ゼータ関数が一致するのではないか」(谷山・志村予想)と提唱し、ラングランズ哲学の観点から注目される。

(ようするに、全然分野の違う二つの数式が似てるけど、もしかしたら繋がってるんじゃないか?という予想)

※ラングランズ哲学・・・全ての物には数学的な規則性や必然性があり、実は全部深い所でつながってるんじゃないの?という考え
※(谷山・志村予想)は、専門家の間では、今は、「志村予想」である。

<1984年>

ゲルハルト・フライが「フェルマーの最終定理を変形させると楕円方程式の形になる」

そして「その変形させた楕円方程式は谷山=志村予想を満たさない」と発表

その後、ジャン・ピエール・セールによって定型化される(フライ・セールのイプシロン予想)

<1986年>
ケン・リベットが「フライ・セールのイプシロン予想」を証明する

これを整理すると

・谷村志村予想は楕円曲線とモジュラー形式がゼータ関数でラングランズ哲学がフライセールのイプシロン予想で

フェルマーの最終定理のx,y,zに正解があるとすれば、谷山=志村予想は満たされない(谷山=志村予想は間違っている)

言い換える(対偶をとる)と、谷山=志村予想が正しいと証明されれば、フェルマーの最終定理のx,y,zを満たす自然数の解は存在しない。

つまり、谷山・志村予想が正しいと証明出来れば、フェルマーの最終定理も証明出来るということになる。

<1993年>

6月23日

当時、岩沢理論における楕円曲線のゼータ関数の一部の証明に成功し、プリンストン大学の教授だったアンドリュー・ワイルズが、ケンブリッジのニュートン研究所の講演会で、証明に成功したと発表。

世間は大騒ぎになるが、のちの論文の審査で欠陥が見つかる。

当初はこの欠陥について、秘密裏に修復しようと沈黙していたが、論文の審査結果も論文自体も公表されないために、世間が混乱する。

<1994年9月19日>
ワイルズ「もう諦めよう…最後に岩澤理論を見直してみ…………!!!!」 
(本人曰く「夢じゃないかと思うような素晴らしい証明」が頭に浮かんだという」) 
(※ 1994年10月に新しい証明を発表。)

<1995年2月13日>
ワイルズの証明に不備がないことが確認され、330年もの歴史に決着がついた。

(※ 1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年2月13日に誤りがないことが確認され、360年に渡る歴史に決着を付けた。)
悪魔の証明
この証明は、300年以上もの間証明されなかったことから悪魔の証明とも呼ばれた。

といっても「証明するのが原理的に不可能」という意味の悪魔の証明ではなく、「数々の数学家を地獄に落とした」という経歴がそう呼ばせるのである。

1847年、クンマーが「現代の数学では不可能」と結論付けてから、1984年にフライ=セール予想が発表され具体的な証明方法が見つかるまでの間も、もちろんこの証明に挑戦する数学家たちは多かった。

特に1900年代に、大富豪ヴォルフスケールが10万マルク(日本円で十数億円)という莫大な懸賞金をこの定理の証明にかけた為、フェルマーの最終定理ブームが起こったほどである。

…がしかし、歴史的に見ても、もちろん証明されていないどころか、特にコレといった発見すらない。

つまり「まったくの無駄な時間」を、この問題に挑戦させた多くの人々に味合わせたのである。

無論、未解決問題の証明には長い長い時間を要する。5年10年では足りないだろう。

だがもし、人生の中の10年という時間をこの問題の証明に費やしても成果が出なかったらどうなるか?

答えは決まって「もっとのめりこむ」のであった。だってすでに10年もの歳月を使ってしまったのだから……。

証明しなければ報われない……だがしかし、証明さえすればこの10年は無駄ではなかった!それどころか十数億!さらには数学界における永遠の栄誉まで手に入る!

…そう信じて、死の直前まで理想を抱いたまま倒れたものがどれだけいただろうか……。

そして、このブームに乗っかったのは数学素人の方が多かったとも言われている。

理由は、この問題の悪魔的要素の一つである「理解のしやすさ」である。

難しい専門用語もなく、理解しがたい数式も無い、たった一行の数式を証明するだけである為に「もしかしたらできちゃうんじゃ」と勘違いする人間が数多く存在した。

さらに、フェルマーの一言「真に驚くべき証明」という言葉から「小難しい理論なんて必要じゃないんじゃない? ひらめき一発で解けるような、そんな問題なんじゃないか?」と勘違いを起こさせた。

実際に、数学者達は「誰も解けてないんだから無理だろう」と諦め、まともに取り組もうとしなかったが、一般人はそうは思わず、一人また一人と地獄送りへなっていった……フェルマー…恐ろしい子…!

一方で、この問題の証明を夢見て数学者の道を志した人間も少なくなく、多くの若者を数学の世界に招き入れたという正の側面も存在する。

最終的に証明に成功したアンドリュー・ワイルズもまた、そういった若者の一人であったのだが、数多の天才が敗れていったこの問題に手を出すことを恩師のジョン・コーツに止められ、数学者になってからしばらくは別の研究を続けていた。

……が、自身の専門分野である楕円曲線の研究がフェルマーの最終定理の内容と繋がることに気付き、それをきっかけにこの問題の証明へとのめり込んでいくいことになる。

ワイルズはこの証明に挑戦するために自室に引きこもり、講義や生徒指導など最低限の仕事しかこなさなくなったと言われている。

それどころか、定期的な発表会でさえ他の研究をしていなかったワイルズは未発表の論文を限りなく薄めて引き延ばすという方法をとり、時間を稼いでいた。

当然、彼の評価は「まともに仕事をしない」「大した成果を出さない」と、失墜していき、同僚からは「人が変わったように無能になった」と言われていた。

そんな生活を、彼は7年も続けていた。彼もまた、もしも結果が出ていなければ、一生を台無しにする所だったのかもしれない…。

(因みに、ヴォルフスケールの懸賞金はワイルズが受け取ったが、当時十数億円と言われた懸賞金は、世界大戦によるハイパーインフレにより500万円ほどの価値であった)

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やや専門的内容
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/689.html

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/conf/20150817.html

http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~narita/ss2011_proceedings.pdf

http://ntw.sci.u-toyama.ac.jp/ss2017/

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/index.html

https://core.ac.uk/download/pdf/42026066.pdf

ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。 

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/nt_seminar.html
 
(世間では「谷山志村予想」だが、専門家の間では、「志村予想」である。)
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2014年6月5日 保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2) - 高瀬幸一 単行本 ¥6,480

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保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2) - 高瀬幸一 単行本 ¥6,480

高瀬幸一 保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2) 

第1章 楕円関数 

1.1 プロローグ;レムニスケート関数 
1.2 楕円関数
1.3 モジュラー変換
1.4 Wierstrassのペー関数 
1.5 テータ関数
1.6テータ級数


第2章 モジュラー形式 

2.1 モジュラー関数とモジュラー形式 
2.2モジュラー尖点形式 
2.3 楕円モジュラー形式の次数付代数 
2.4再びテータ級数 
2.5 もう少しテータ級数 


第3章 ユニタリ表現 

3.1 局所コンパクト群のユニタリ表現 
3.2 誘導表現 
3.3 Lie環の作用 
3.4 Cayley変換 
3.5 K-有限ベクトル 
3.6 離散系列表現 
3.7 主系列表現 
3.8 limit of discrete series 
3.9 補系列表現 
3.10 SL2(R)の既約ユニタリ表現 
3.11 GL2(R)の既約ユニタリ表現 


第4章 群上の保型形式 

4.1 保型形式を群上で考えると 
4.2 離散系列表現とモジュラー形式 
4.3 主系列表現とMaassのwave form 
4.4 保型形式に付随したDirichlet級数 
4.5 関数等式をもつDirichlet級数と保型形式 


第5章 Hecke作用素 

5.1 Ramanujanが気付いたこと 
5.2 帯球関数とクラス-1表現 
5.3 GLn(Qp)の構造 
5.4 GLn(Qp)上の帯球関数 
5.5 佐武の同型定理の証明 
5.6 GL2のアデール化 
5.7 Hecke作用素とEuler積 
5.8 Ramanujan-Peterssonの予想 


第6章 高次元への一般化 

6.1 テータ関数
6.2 複素トーラススと偏極アーベル多様体 
6.3 偏極アーベル多様体の同型類の空間 
6.4 Riemannのテータ級数 
6.5 Siegel上半空間上の不変測度 


第7章 Weil表現(実数体上の場合) 

7.1 Heisenberg群とその既約ユニタリ表現 
7.2 Fockモデル 
7.3 Weil表現 
7.4 格子モデル 
7.5 テータ級数の変換公式 
7.6 二次形式に付随したテータ級数 
7.7 エピローグ;Siegelモジュラー形式 


付録A Radon測度,Haar測度 

A.1 局所コンパクト空間 
A.2 Radon測度 
A.3 局所コンパクト群 
A.4 Haar測度 
A.5 ρ-関数と付随する測度 
A.6 複素Banach代数 


付録B Lie群Lie環

B.1 Lie環 
B.2 層
B.3 解析的多様体 
B.4 Lie群とそのLie環
B.5 GLn(C)の有限次元既約表現 


付録C 斜交空間と斜交群 

C.1 双線形形式 
C.2 斜交空間 
C.3 斜交群,Heisenberg群,Jacobi群
C.4 斜交空間の偏極 
C.5 Pfaff形式
C.6 格子
C.7 Gauss和 
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「保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2) - 高瀬幸一」を読むための基礎


整数論1: 初等整数論からp進数へ - 雪江明彦 単行本 ¥3,672

整数論2: 代数的整数論の基礎 - 雪江明彦 単行本 ¥3,672

整数論3: 解析的整数論への誘い - 雪江明彦 単行本(ソフトカバー) ¥3,672

代数学1 群論入門 (代数学シリーズ) - 雪江明彦 単行本(ソフトカバー) ¥2,160

代数学2 環と体とガロア理論 - 雪江 明彦 単行本(ソフトカバー) ¥3,240

代数学3 代数学のひろがり - 雪江 明彦 単行本(ソフトカバー) ¥4,536


代数幾何学 1 - R.ハーツホーン 単行本 ¥4,104

代数幾何学 2 - R.ハーツホーン 単行本 ¥2,592

代数幾何学 3 - R.ハーツホーン 単行本 ¥3,456


N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp著『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野健爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
廣中平祐著『代数幾何学』(森重文 記録)
宮西正宣著『代数幾何学』


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さらに、発展学習!
論文集 (志村五郎)
Collected Papers. I: 1954-1965 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95406-6.
Collected Papers. II: 1967-1977 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95416-5.
Collected Papers. III: 1978-1988 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95417-2.
Collected Papers. IV: 1989-2001 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95418-9.
など
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京都大学の望月拓郎・数理解析研究所教授、8月の世界数学者会議で基調講演 (「柏原予想」という難問を解決)約8年

京都大学の望月拓郎・数理解析研究所教授、8月の世界数学者会議で基調講演  (「柏原予想」という難問を解決) 約8年
 

京都大学の望月拓郎・数理解析研究所教授は8月13~21日に韓国ソウル市で開催される「国際数学者会議」で基調講演する。同会議は4年に1回の開催で、21人の基調講演者の1人に選出された。日本学士院賞を受賞した「純ツイスターD―加群の研究」を中心に幾何と解析、代数が融合する分野で打ち立てた新しい理論を解説する。

望月教授は約8年をかけ総計1000ページを超える論文で同理論をまとめ上げた。この研究は柏原正樹京大名誉教授が1990年代半ばに提案、解決に50年はかかるといわれた「柏原予想」という難問を解決し、内外で高く評価されている。
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