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数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など、夏休みの研究の話題など、小中高から一般までの話題、「ABC予想」、「リーマン予想」の周辺など 「志村多様体」「保形表現」

2006年08月

数学(算数)・素数にまつわる話題から、やや専門的な「整数論」「数論幾何学」「代数幾何学」のような話題。「フェルマーの最終定理」、「ポアンカレ予想」の解決の「証明」の理解など

伊藤清名誉教授がガウス賞を受賞 ( 金融工学の分野で有名な「ブラック-ショールズ方程式」にも応用されている確率微分方程式の基礎 ) 『伊藤の補題』など

伊藤清名誉教授がガウス賞を受賞 ( 金融工学の分野で有名な「ブラック-ショールズ方程式」にも応用されている確率微分方程式の基礎 ) 『伊藤の補題』など
 
「ルベーグ積分入門(新装版) (数学選書) - 伊藤 清三(著)」に感謝!

(博士が考案した『伊藤の補題』は「ピタゴラスの定理以外で、これほどよく知られ広く応用されている数学の成果は思いつかない」と言われるほど重要なもの    ルベーグ積分入門(新装版) (数学選書) - 伊藤 清三(著))

 

   2006年8月22日からマドリードで行われた国際数学者会議(ICM)で、数学者で京都大学名誉教授の伊藤清博士が第1回ガウス賞を受賞した。ガウス賞 は、数学界にとどまらず他分野にまで多大な影響を与える業績を残した数学者を顕彰するもので、国際数学連合とドイツ数学者連合によって新設された。今回の 受賞は、確率微分方程式論をはじめとする博士の確率解析における業績と、それらが物理学、工学、生物学、経済学の諸分野の発展に果たした貢献が評価され た。博士は1952年から79年まで京都大学で教鞭を執り、その後プリンストン高等研究所研究員、オールフス大学、コーネル大学教授を経た後、76年から 79年まで京都大学数理解析研究所長を務めた。内閣統計局に勤務していた1942年、確率積分の概念を基礎から構築し、確率微分方程式論を創始した。
確率微分方程式は、ブラウン運動のような偶然性に支配される運動の連続的な軌跡を記述する運動方程式であり、通常の運動方程式にランダムな力を表す項が 加わったような形になっている。この項に対して確率積分がなされ、その計算の際に不可欠な公式が「伊藤の公式」である。この理論により、確率解析は飛躍的 な発展を遂げた。また、多くの研究者によって数学以外の分野にも応用されていった。現在、確率解析は集団遺伝学や確率制御理論など偶然性をともなう現象の 解析において広く応用されている。なかでも最もっとももよく用いられるのが、数理ファイナンスの分野だ。市場価格が変動するさまを記述し,ランダムな市場 の動きに対して,リスクの少ない方法を考えるのが数理ファイナンスの重要な目的だが、そのために確率解析は不可欠なものになっている。実際、金融の現場で 「伊藤の公式」はよく知られている。もっとも、博士自身は、純粋数学として確率解析の研究をしていたようだ。健康上の都合により欠席したICMの開会セレ モニーにも「私の確率解析の研究は純粋数学においてのものであり、だからこそ数学の応用に対して与えられるガウス賞に選ばれたことは本当に驚きであり、ま た心から喜ばしくおもいます。」と英語のコメントを寄せている。

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8月22日 伊藤清博士がガウス賞を受賞(2006年)


この日、マドリードで行われた国際数学者会議において、数学者の伊藤 清 博士(1915-2008)が第1回ガウス賞を受賞しました。

ガウス賞は国際数学連合(IMU)とドイツ数学者連合が創設した賞で、数学の応用的な研究に対して授与されるものです(同時にフィールズ賞とネヴァンリンナ賞の授賞式も行われます)。

ガウス賞は、カール・フリードリッヒ・ガウス(Carolus Fridericus Gauss、1777-1855)の生誕225周年を記念して設けられました。メダルには、ガウスの肖像と、小惑星セレスの軌道を最小二乗法の改良により突き止め、いったん見失われたセレスを再発見に導いたことに由来した意匠が彫られています。

伊藤博士は、金融工学の分野で有名な「ブラック-ショールズ方程式」にも応用されている確率微分方程式の基礎を築きました。

博士が考案した『伊藤の補題』は「ピタゴラスの定理以外で、これほどよく知られ広く応用されている数学の成果は思いつかない」と言われるほど重要なものなんだとか。

従来、方程式で表現することができるグラフは直線もしくは規則性を持つ曲線のみで、まったく規則性のないランダムな曲線は、方程式で表すことができなかったということですが、『伊藤の補題』は微積分に確率論を導入することで、規則性のない曲線を方程式で記述することを可能にしました。

しかし、伊藤博士は、経済学分野への興味はそれほどなかったそうで、ある経済学者の集まりに呼ばれた際に、その熱烈な歓迎ぶりに当惑したという逸話が残っています。

どうやらわたしたちも知らず知らずのうちに、この数学の恩恵を受けているみたいです。


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私の興味として読んだ「書籍」

(博士が考案した『伊藤の補題』は「ピタゴラスの定理以外で、これほどよく知られ広く応用されている数学の成果は思いつかない」と言われるほど重要なもの)

ルベーグ積分入門(新装版) (数学選書) - 伊藤 清三(著)
関数解析入門 (サイエンスライブラリ―理工系の数学) - 洲之内 治男(著)
確率微分方程式入門―数理ファイナンスへの応用― 石村直之(著)
ルベーグ積分超入門―関数解析や数理ファイナンス理解のために - 森 真 (著)
経済と金融工学の基礎数学 (シリーズ 現代金融工学) - 木島 正明 (著)
確率微分方程式 (共立講座 数学の輝き ) 谷口 説男(著)
ファイナンスの確率積分―伊藤の公式、Girsanovの定理、Black‐Scholesの公式 津野 義道  (著)
アクチュアリーのための 生命保険数学入門 京都大学理学部アクチュアリーサイエンス部門 (編集)
金融工学辞典 野村証券金融研究所 (編集)
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2006年8月10日 肥田晴三 著 Hilbert Modular Forms and Iwasawa Theory (Oxford Mathematical Monographs)

2006年8月10日 肥田晴三 著 Hilbert Modular Forms and Iwasawa Theory (Oxford Mathematical Monographs)

Front Matter

1 INTRODUCTION
2 AUTOMORPHIC FORMS ON INNER FORMS OF GL(2)
3 HECKE ALGEBRAS AS GALOIS DEFORMATION RINGS
4 GEOMETRIC MODULAR FORMS
5 MODULAR IWASAWA THEORY

End Matter
REFERENCES
Articles
SYMBOL INDEX
STATEMENT INDEX
SUBJECT INDEX



肥田晴三 elementary theory of l-functions and eisenstein series 1993年

肥田晴三 modular forms and galois cohomology 2000年

肥田晴三 geometric modular forms and elliptic curves 2000年

肥田晴三 p-adic automorphic forms on shimura varieties 2004年

肥田晴三 Hilbert modular forms and iwasawa theory 2006年

肥田晴三 elliptic curves and arithmetic invariants  2013年



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「肥田晴三 著 Hilbert Modular Forms and Iwasawa Theory」を読むための基礎

「フェルマー予想 斎藤 毅 7452円 岩波オンデマンド」を読むための基礎


整数論1: 初等整数論からp進数へ - 雪江明彦 単行本 ¥3,672

整数論2: 代数的整数論の基礎 - 雪江明彦 単行本 ¥3,672

整数論3: 解析的整数論への誘い - 雪江明彦 単行本(ソフトカバー) ¥3,672

代数学1 群論入門 (代数学シリーズ) - 雪江明彦 単行本(ソフトカバー) ¥2,160

代数学2 環と体とガロア理論 - 雪江 明彦 単行本(ソフトカバー) ¥3,240

代数学3 代数学のひろがり - 雪江 明彦 単行本(ソフトカバー) ¥4,536


代数幾何学 1 - R.ハーツホーン 単行本 ¥4,104

代数幾何学 2 - R.ハーツホーン 単行本 ¥2,592

代数幾何学 3 - R.ハーツホーン 単行本 ¥3,456


N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp著『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野健爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
廣中平祐著『代数幾何学』(森重文 記録)
宮西正宣著『代数幾何学』
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一般の人のおすすめの本

フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫) / 「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
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文系用読者:「教育者」としてのあの頃の感覚として読む
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫)
整数に関する問題は、問題を理解するのはやさしいが解くのはとてつもな く難しいことが多い。この本の表題ともなっている「フェルマーの最終定理」 の証明もそのような整数問題の1つであり、アマチュア・プロを問わず 300 年もの間、多くの数学者の挑戦を退けてきた問題である。1995 年最終的に 証明を成し遂げた勝者はアンドリュー・ワイルズという数学者であった。し かし、その証明への取り組みは試練に満ちており、7年間の隠密行動、そし て1度は証明できたと発表して、その後証明に穴があることがわかり1年余 りの間、公にさられた状態での穴埋め作業の末ようやく証明完了というドラ マが書かれています。谷山、志村、岩澤、肥田といった日本人数学者もからみ、困難な問題にチャレンジする人間模様を描いた物語として、一読を。
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理系用読者:「数学者」としてのあの頃の感覚として読む
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【書名】「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
( フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書 )
( フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 )
 

  1993年6月23日に、プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言し、その後、証明の不備が見つかり、1年以上に苦考の末、1994年9月19日にその修正に成功したこの期間に、著者が証明の解説として数学セミナー読者向けに書いたものを集めたものである。厳密性はないが、極力丁寧に、正確に伝えようとする、著者の誠実さと、理解の深さが伝わってくる。原論文の 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras にも、整数論にも、非常に惹きつけられる内容だった。購入時にも読んだと思われるが、詳しく覚えていないところをみると、理解しようとはしていなかったのかもしれない。むろん、今回も十分な時間をかけて読んだとは言えないが。
 
以下は備忘録
「砂田利一『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』」(p.37)「ワイルス『ぼくは、フライとリベットの結果を知ったとき、風景が変化したことに気がついた。(中略)この時まで、フェルマの最終定理は、何千年間もそのまま決して解かれることがなく数学がほとんど注目することがない数論の他の[散発的かつ趣味的な]ある種の問題と同じようなものに見えていた。フライとリベットの結果によって、フェルマの最終定理は、数学が無視することのできない重要な問題の結果という形に変貌したのだ。(中略)ぼくにとって、そのことは、この問題がやがて解かれるであろうと言うことを意味していた』」(p.67)「清水英夫著『保型関数I, II, III』、志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』、Knapp『Elliptic curves』、河田敬義著『数論I, II, III』、藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』、上野健爾著『代数幾何学入門』、J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』、土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』、肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』、吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義─』、N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』」(p.123,4)「田口雄一郎さんの手紙に『Deligne さんの家はこの道の始まりのところ、森の入り口にあります。Deligne さんといへども、森羅万象の真理の最奥に至る道のほんの入口のところにゐるに過ぎないといふ、これは自然による卓抜な比喩であると思われます。ところが、恐ろしいことに彼の子供たちは毎日この道を通って森のむかうの学校に通ってゐるらしいのです。』とありました。フェルマーからの350年は大進歩でしたが、人類が続いてゆけば、それは今後何千年の数学の序曲であり、何段も何段も自然の深奥への新しい段階があることでしょう。」(p.239)「ガウス『どのように美しい天文学上の発見も、高等整数論が与える喜びには及ばない』ヒルベルト『数論には古くからの問題でありながら、今日も未解決のものが少なくない。その意味で、多くの神秘を蔵する分野であるが、他方、そこで展開される類体論のような、世にも美しい理論がある』」(p.245)「岩澤健吉『代数体と、有限体上の一変数関数体は、どこまでも似ていると信じてよい』」(p.246)「志村五郎は『整数論いたる所ゼータ関数あり』と述べたが今その言葉に『ゼータ関数のある所 岩澤理論あり』と続けて考えたい」(p.261)『ゼータ関数のある所 肥田理論あり』ともいえる。
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原論文の
 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 
 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras
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論文集 (志村五郎)
Collected Papers. I: 1954-1965 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95406-6.
Collected Papers. II: 1967-1977 (Hardcover ed.). Springer. (2002). ISBN 978-0-387-95416-5.
Collected Papers. III: 1978-1988 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95417-2.
Collected Papers. IV: 1989-2001 (Hardcover ed.). Springer. (2003). ISBN 978-0-387-95418-9.
など
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備忘録 メモ

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