数学 整数論「素数の宇宙の世界」 Dream of  G. Shimura?   (志村理論:志村多様体・志村ゼータ関数・志村曲線・志村モデル・志村系リフト・・) 【今日の数学者】2月23日生 志村五郎

志村五郎先生「誕生日」の「素数の世界」  (【今日の数学者】2月23日)
志村五郎 スケッチ700ss


数学の超難問「フェルマーの最終定理」の証明につながる予想を提唱した米プリンストン大名誉教授の志村五郎さん


「すべての楕円曲線はモジュラーである」  ( 「谷山=志村予想」は、「志村予想」だった! 先生の「誠実さ、優しさ」)数学の統一理論にも貢献!

【今日の数学者】2月23日はガウスの命日であり、志村-谷山予想の志村五郎先生のお誕生日であり、フィールズ・メダリストの森重文先生のお誕生日です。

つまり、志村五郎先生は。ガウスの生まれかわり?なのだ! (ガウスは、数学の女王は、「整数論」といった。)

 志村さんは整数論が専門。1950年代~60年代に、故谷山豊・東京大助教授と共に楕円(だえん)曲線の性質に関する「谷山=志村予想」を提唱。この予想を手がかりに、提示から350年以上数学者を悩ませてきた整数論の難問、フェルマーの最終定理が、英国のアンドリュー・ワイルズさんによって95年に証明された。
 
1930年 静岡県浜松に生まれる
1952年 東京大学理学部数学科卒業
1957年 パリ、ポアンカレ研究所『近代的整数論』(谷山豊との共著)
1958年 プリンストン高等研究所
1959年 東京大学助教授
1961年 大阪大学教授
1964年 プリンストン大学教授
(アメリカ在住、プリンストン大学名誉教授 専門は整数論)

 東大卒業後、同大助教授などを経て、64年から99年までプリンストン大教授を務めた。77年に米数学会「コール賞」、91年度に朝日賞を受賞。

( 京都で何度も「志村スクール」を開催されています。)
 
志村五郎先生 業績


1958年 - 国際数学者会議招待講演(エジンバラ)
1966年 - 国際数学者会議招待講演(モスクワ)
1970年 - 国際数学者会議招待講演(ニース)
1977年 - アメリカ数学会コール賞数論部門:"Class fields over real quadratic fields and Heche operators", Annals of Mathematics, Ser. 2, Vol. 95, 1972; "On modular forms of half integral weight", Annals of Mathematics, Ser. 2, Vol. 97, 1973に対して
1978年 - 国際数学者会議招待講演(ヘルシンキ)
1991年 - 朝日新聞社朝日賞:整数論の研究
1995年 - 藤原科学財団藤原賞:アーベル多様体の虚数乗法論と志村多様体の構成
1996年 - アメリカ数学会スティール賞(生涯の業績部門):重要かつ広範な分野におよぶ数論幾何学と保型形式の業績に対して
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志村五郎(1930年2月23日)
の「誕生日の12次元」の「数」
「数」⇔「反転数(鏡の数)」


1.19300223⇔32200391
2.23051930⇔3915032
3.2231930⇔391322
4.19302302⇔20320391
5.2193023⇔3203912
6.23193002⇔20039132

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志村五郎(1930年2月23日)の「6つの数 (6 Number)シックスナンバー」
1.19300223
2.23051930
3.2231930
4.19302302
5.2193023
6.23193002

志村五郎(1930年2月23日)の「6つの反転数 (6 Inversion Number)シックス・インバージョン・ナンバー」
7.32200391
8.3915032
9.391322
10.20320391
11.3203912
12.20039132
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すごい「素数」が存在する?
 
問1 志村五郎(1930年2月23日)の場合
「数」を「素因数分解」する。
12Number(12ナンバー)
12Prime factorization(12個の素因数分解)
1.19300223=
2.23051930=
3.2231930=
4.19302302=
5.2193023=
6.23193002=
7.32200391=
8.3915032=
9.391322=
10.20320391=
11.3203912=
12.20039132=
 
 
問A 志村五郎(1930年2月23日)の場合
「数」→ 「APS素数」
12Number(12ナンバー)→ 12Prime(12プライム)
1.19300223→ 
2.23051930→ 
3.2231930→ 
4.19302302→ 
5.2193023→ 
6.23193002→ 
7.32200391→ 
8.3915032→ 
9.391322→ 
10.20320391→ 
11.3203912→ 
12.20039132→ 
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https://ja.wikipedia.org/wiki/志村五郎


フェルマーの最終定理 (新潮文庫) - サイモン シン 文庫 ¥853志村五郎 先生の 書籍 と 物語ss


谷山志村予想「フェルマーの最終定理」ss

フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、(xのn乗) + (yのn乗) = (zのn乗) となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
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やや専門的内容
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/689.html

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/conf/20150817.html

http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~narita/ss2011_proceedings.pdf

http://ntw.sci.u-toyama.ac.jp/ss2017/

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/index.html

https://core.ac.uk/download/pdf/42026066.pdf

ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。 
(世間では「谷山志村予想」だが、専門家の間では、「志村予想」である。)

 数論合同セミナーのページ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/nt_seminar.html

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志村五郎 記憶の切繪図 鳥のように 700

志村五郎先生の書籍(1部)ss


「すべての楕円曲線は、モジュラーである」 
モジュラーの世界のイメージss
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あの頃 数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」
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ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。 
 「谷山=志村予想」は、「志村予想」だった! 先生の「誠実さ、優しさ」
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以下、数学の学習テーマ?の計画?
「志村理論の研究」計画?

・・・・・・
整数論サマースクール「多重ゼータ値」
整数論サマースクール「楕円曲線とモジュラー形式の計算」
整数論サマースクール「保型形式のp進family入門」
整数論サマースクール「志村多様体とその応用」
整数論サマースクール 「非可換岩澤理論」
整数論サマースクール 「p 進簡約群の表現論入門」
整数論サマースクール 「Stark 予想」
整数論サマースクール 「保型形式のリフティング」
整数論サマースクール 「アーサー・セルバーグ跡公式入門」
整数論サマースクール 「l 進ガロア表現とガロア変形の整数論」
整数論サマースクール 「保型 L 函数」
整数論サマースクール 「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」
整数論サマースクール 「Diophantine Equations」
整数論サマースクール 「Hilbert 保型形式」
整数論サマースクール 「基本群と Galois 表現」
整数論サマースクール 「岩澤理論」
整数論サマースクール 「概均質ベクトル空間」
整数論サマースクール 「ゼータ関数」
整数論サマースクール 「半整数ウェイトの保型形式」
整数論サマースクール 「代数群の整数論入門」
整数論サマースクール 「楕円曲線とその Arithmetic Moduli」
整数論サマースクール 「Siegel 保型形式入門」
整数論サマースクール 「Weil 表現入門」
整数論サマースクール 「等質空間と保型形式」
整数論サマースクール 「志村多様体と保型形式」
整数論サマースクール 「アイゼンシュタイン級数について」


・整数論全般
加藤 和也, 斎藤 毅, 黒川 信重, 数論1(Fermatの夢と類体論), 岩波.
黒川 信重, 斎藤 毅, 栗原 将人, 数論2(岩沢理論と保型形式), 岩波.

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<数学の女王 「整数論 」 >数学者・志村五郎はなぜ東大を去ったか? 丸山眞男~戦後進歩的知識人との決別の理由/志村理論の始まりは・・・「すべての楕円曲線はモジュラーである」

東大受験必読、数学者・志村五郎の遺した言葉 (ちくま学芸文庫 「数学をいかに使うか」(2010)「数学の好きな人のために」(2012)「数学で何が重要か」(2013) そして「数学をいかに教えるか」(2014) の4冊)
 

<数学 「整数論」の世界的権威> 300年来の超難問証明に貢献、志村五郎氏死去 (志村五郎先生のご冥福を、お祈りいたします。)
 

数学者(整数論) 志村五郎氏死去 (谷山志村予想とフェルマーの最終定理 300年来の超難問証明に貢献) 2019年 5月3日 

参考
2015年11月
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ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。

ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、日本の「志村五郎氏」による進展が大きい。
動画 
数学ミステリー白熱教室 (第1回から第4回)動画(フェルマー予想 から ラグランズプログラム)
https://www.youtube.com/watch?v=octSjc1Sk2U&list=PL6iz98WS2YpRGR2egcplCqKnx6PBr3czn
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知の``継承''が生む創造力 (志村 五郎 米プリンストン大学名誉教授) 2001年11月8日
 
 
   昔から「日本人はまねはうまいが,創造力は乏しい」とよく言われる. 特に,自然科学の分野では,今日でも著名な学者たちがそう言っている. 果たしてそうだろうか.私はその逆に,日本人は世界で最も創造力に富む国民の中に入るのではないかと思う.歴史的にみて,欧米の科学 知識を吸収するのに多くの労苦と時間を要したのは当然であって,それを前提にして考えると,日本の科学者たちは実によくやっている. 科学というのは,多くの人の業績の積み重ねであって,「ゼロからの出発」はあり得ない.私の専門は数学だが,過去五十年間にわたる日 本の数学者たちの創造的な貢献は目覚ましく,何ら恥ずべきものはない. にもかかわらず,常に,その反対が叫ばれるのはなぜか.恐らく,明治以後の日本の進歩と発展に驚いた欧米人が,日本人を全面的に称賛したくなかったために,ケチを付けようと「まねは上手だが……」と言ったのが発端ではないだろうか.そして,その言葉を日本人の劣等感と欧米崇拝が,甘受してきた大きな理由と思う.また,欧米人と比べると日本人は宣伝が下手で,しかも,一般的に言って同国人の仕事(業績)を認めたがらないといった気質も加わっているのだろう.もし,本当に日本人が創造力に乏しいというのなら,それを証明して欲しいものである.私にとって不可解なのは,著名な学者までが自国民をけなしている態度である.考えてもみよ.世界のどこにそんなことを言って喜んでいる国があるか.その上,以前からこの問題を教育方法と結びつけて論じる人がいるが,そこに大きな危険が潜んでいることを指摘したい.
「丸暗記を廃して思考力を高めよ」というスローガンに反対する理由もないが,それを叫ぶのはほとんど無意味である.特に,そこから「教える分量を減らせ」という結論を引き出すのは誤りだ.それを論ずる前に,まず科学のある重要な考え方は,その創始者にとっては多大な努力の後の到達点であっても,次の世代にとってはそれが当たり前の常識になって,次の発展の母胎になるという事実を忘れてはならない.それは研究者の間だけに当てはまるものではなく,一般社会においてもそうである.例えば,毎日接する「降水確率」に使われている確率という概念がよい例である.そう考えてみると,確率ばかりではなく,教えられるき事実や概念の 分量の多くは,それはますます増えていくだろう.もちろん古くて重要性を失ったものは切り捨てて,新しいものと置き換えられるべきだが,その作業は専門教育でも一般教育でも慎重に行わなければならない.大学生の学力低下は現実に起きているのである.付け加えると,まねが上手なのは良いことで,それもできないようでは何もできない.「まねは上手だが創造力はない」などと,それこと 人の口まねのようなことを言うのはやめて欲しいものである.まして,それを教育方法,特に,教える分量に結びつけるのは実に愚劣だ.はじめに戻って欧米人について言うと,彼らの中には,日本人のまねをして,あたかも自分の独創のように上手に宣伝するものがいる.いまもって,彼らが全体としてそうした卑劣な能力を失ったわけではないから,日本人の仕事が公平に評価されていると思ってはならない.だから宣伝上手になれとは言わないが,若き世代へ私の忠言は,いかなる研究も中途半端にせず,どうしても認めさせずにはおかない水準にまで撤底的にやれということである.創造はしばしば撤底から生まれ,そしてまた,若き諸君にそれができるはずなのである. 大阪大学教授などを歴任.95年に自然科学者に贈られる藤原賞を受賞. 71歳. 「論点」読売新聞
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参考

感動!「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 

数学 「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 

京都 VSOPも感動! (谷山・志村予想 がカギ)350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 

京都 VSOPも感動!「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 
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現代数学の話題からモジュラー形式、保型形式の周辺の数学概念を一括して紹介する。

モジュラー形式 modular form

モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数。モジュラー

形式は、モジュラー群あるいは合同部分群のひとつを離散部分群として持つ SL2(R)(特殊線型

群)や PSL2(R)(射影特殊線型群)の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形

式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。

モジュラー群 modular group
a, b, c, d を整数とし ad − bc = 1 としたとき、↦ (az + b) / (cz + d) が形作る複素上半平面

の一次分数変換の群である。作用の群は、写像の合成である。この変換群は、特殊射影線型群PSL(2, Zに同型であり、この群は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Zをその群の中心 {I, I}で割った商である。言い換えると、PSL(2, Zは、a, b, c, d を整数とし ad − bc = 1 として、さ らに行列のペア と -A を同一視したときのすべての行列から構成される。群の作用は通常の 行列の積である。

モジュラー函数 modular function

重さ 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のこと。そしてそれゆ

えに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。

また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点

で f(zが正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では

有理型である。

モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在で

は、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

保型形式 automorphic form

位相群 上で定義された複素数(あるいは複素ベクトル空間)値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ 

作用の下に不変なもの。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数(これは離散位相群と

しての 1次元トーラス上の函数と見なされる)を一般の位相群に対して一般化したもの。

アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincaré) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形

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式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす。

ラングランズ・プログラム Langlands program は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、

局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常

に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands により提唱された。

非常に広い脈絡において、既存の概念を用いて、ラングランズプログラムは構築される。これ

には例えば、それより少し前にハリッシュ=チャンドラ と Gelfand が定式化していたカスプ形

式の哲学や、半単純リー群に関するハリシュ=チャンドラの手法及び結果、セルバーグの跡公

式などが含まれる。

初めこそ非常に新しかったラングランズの研究も、技術的に深められる中で、豊かに体系立っ

た仮説的な構造,いわゆる函手性を伴って数論との直接的な繋がりを提示するものとなった。

例えば、ハリッシュ=チャンドラの仕事において、半単純(あるいは簡約)リー群に対してで

きることは、任意の代数群に対してできるはずであるという原理を見ることができる。従って、

その手法というのは、既に知られていたモジュラ形式論における GL(2) や、後から認識される

ようになった類体論における GL(1) などの、ある種の低次元リー群が果たす役割を、少なくと

も一般に > 2 に対する GL(nについての考察を明らかにすることであるということができる。

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リー代数が半単純であるとは単純リー代数(自分自身と0以外にイデアルを持たないような非可

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換リー代数)の直和となる事をいう。

カスプ形式の概念の出所は、モジュラー曲線上のカスプのみならずスペクトル論においても

(アイゼンシュタイン級数からの連続スペクトルと対照を成す)離散スペクトルとも見ること

ができる。より大きなリー群に対してカスプ形式を考えることは、放物型部分群 の数が膨大に

なるため、より技巧的な扱いを要する。
こういった手法の何れにおいても技術的な近道となる方法はなく、しばしば本来帰納的でとり

わけレヴィ分解 に基づいているが、その分野は昔も今も非常に多くのことが要求される。

モジュラー形式の側からは、例えばヒルベルトモジュラー形式、ジーゲルモジュラー形式、テー

タ級数などの例があった。

(対象)ラングランズ関連の予想は無数にあり、さまざまな体上の様々な群に対するラングランズ予想 が、あるいは各体に対する様々な形のラングランズ予想が定式化される。ラングランズ予想の 中には、非常にあいまいな形であったり、存在もよく分からないラングランズ群や互いに同値 でない複数の定義を持つ L-群に依存した形になっていたりするようなものも存在する。そうし てさらに、ラングランズが1967年に最初に提示したものよりもラングランズ予想は深められて いった。 ラングランズ予想を述べることのできる様々に異なった種類の対象として、以下のものを挙げ ることができる:

局所体上で定義された簡約代数群の表現。局所体に含まれる体のクラスとして、アルキメデス 局所体(または C)、p-進局所体(Qの有限次拡大)、函数体の完備化(有限体上の形式

ローラン級数体 F((t)) の有限次拡大)がある。 大域体上で定義された簡約代数群上の保型形式。大域体に含まれる体のクラスには、代数体や 代数函数体が含まれる。

有限体

ラングランズ自身はこれを予想の範疇に含めてはいなかったが、ラングランズの予想のアナロ
ジーで有限体に対するものがある。
複素数体上の函数体のような、より一般の体。

(ラングランズ予想)ラングランズ予想の述べた方は様々に異なった方法があり、それらは密接に関連しているが、 それらの同値性については明らかなことではない。

(相互律)ラングランズプログラムの出発点は、二次の相互律を一般化したアルティンの相互律であると 考えられる。アルティンの相互律は、ガロワ群が可換であるような代数体のガロワ拡大に適用 して、L-函数をガロワ群の一次元表現に対応させ、さらにそれら L-函数がある種のディリクレL-級数やヘッケ指標から構成されるより一般の級数(つまり、リーマンゼータ函数のある種の 対応物)と同一視できることを主張するものである。これら種々の異なる L-函数の間の具体的 な対応が、アルティンの相互律を構成しているのである。 非可換なガロワ群やその高次元表現に対しても、L-函数は自然な方法で定義することができる (アルティン L-函数)。 ラングランズの考察は、アルティンの主張をより一般の仮定の下で定式化することを許すよう な、ディリクレ L-函数の真の一般化を求めることであった。

(保型形式論)
ヘッケは既に、ディリクレ L-函数を保型形式(の上半平面上で定義される正則函数である種 の函数等式を満たすもの)に関連付けていたが、ラングランズはそれを(有理数体 のアデー ル環 上で定義される一般線型群 GL(nAの無限次元既約表現の一種である)保型尖点表現に 対して一般化した。(のアデール環というのは、の任意の完備化を一斉に扱ったようなも のである)。
ラングランズは、保型 
L-函数をその保型表現に対応させ「任意のアルティンのL-函数が、代数 体のガロワ群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と

予想した。これをラングランズの「相互律予想」という。一口に言えば、相互律予想は簡約代 数群の保型表現とラングランズ群からL-群への準同型との間の対応を与えるものである。この

相互律は、ラングランズ群や L-群の定まった定義がないために、いくつものバリエーションが ある。局所体上での相互律は、局所体上の簡約代数群の既約許容表現のL-パケットの径数付け を与えることが期待される。例えば、実数体上での相互律は実簡約代数群の表現のラングラン ズ分類 であり、大域体上では保型形式の径数付けを与える。

ディリクレのL-関数 Dirichlet L-functionリーマンゼータ関数を一般化したものである。算術級数中の素数の分布の研究に基本的な関数 である。実際ディリクレは、初項と公差が互いに素であるような等差数列には無限に素数が含 まれること(算術級数定理)を証明するために、この関数を導入した。

(関手性)函手性予想の主張するところは、L-群の適当な準同型が(大域体の場合の)保型形式や(局所 体の場合の)表現の間の対応を与えることが期待されるということである。簡単にいえば、ラ ングランズの相互律予想は函手性予想のうちで簡約代数群が自明である特別の場合である。

(一般化された関手性)
ラングランズは函手性の概念を、一般線型群 GL(nの代わりに他の連結簡約代数群を用いるこ とができるように一般化した。さらにラングランズは、そのような群 に対してラングランズ 双対群 LG を構成して、の任意の保型尖点表現と LG の任意の有限次元表現に対し、ある種 の L-函数を定義した。ラングランズの予想の一つは、この L-函数が既知の L-函数の函数等式 を一般化したある種の函数等式を満足することを主張する。 こうしてラングランズは、非常に一般な「函手性原理」を定式化するに至る。これは、二つの 簡約代数群とそれらに対応する L-群の間の(素性の良い)準同型が与えられたとき、これらの 群の保型表現はその L-函数に対して整合的な仕方で関連することを予想するものである。この 函手性予想からは、これまでにあった全ての予想が系として導かれる。これは誘導表現 の構成 の特質である(もっと従来からの保型形式論において「持ち上げ」と呼ばれていたもので、特 別な、従って(表現の制限が反変的であるのに対して)共変的であるような場合が知られてい た)。直接的な構成を明示的に述べることが試みられたが、いくらか限定的な結果が得られた だけであった。
これらすべての予想を、有理数体 
に替えてより一般の体、例えば(もともとの予想であり、 最も重要な場合である)代数体や局所体、あるいは(素数 に対するp-元体 F上の有理函数 体 Fp(tの有限次拡大体であるような)函数体に対して定式化することができる。

(幾何学的ラングランズ予想)ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプロ グラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけ

を考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。単純な場合だと、代数曲線のエ タール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック(moduli stack)上で

定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける。

(現在の状況)
▪ GL(1, Kに対するラングランズ予想は類体論から従う(本質的には同じもの)

ラングランズ自身は、アルキメデス局所体(および C)に対するラングランズ予想を、既約表現 に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。 ルスティックによる有限体上のリー型の群の既約表現の分類は、有限体に対するラングランズ 予想に相当するものと考えられる。 ワイルズによる有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一 部と見做すことができるが、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない。 有理数体上の二次一般線型群 GL(2, Qに対するラングランズ予想は未解決。 ラフォルグは函数体 上の一般線型群 GL(nKに対するラングランズ予想を保証するラフォル グの定理を示した。これは GL(2, Kの場合を示したウラジーミル・ドリンフェルトの先行研究 に続くものである。

(局所ラングランズ予想)
Kutzko は、局所体上の二次一般線型群 GL(2, Kに対する局所ラングランズ予想を証明した。一 般次元の場合には、 Laumon, Rapoport, and Stuhler が、大域理論を含む論法を以って正標数 局所体 上の一般線型群 GL(nKに対する局所ラングランズ予想を証明し、標数 の局所体上 の一般線型群 GL(nKに対する局所ラングランズ予想は Taylor and Harris の証明や、あるいはHenniart の証明などがある(何れも大域的な議論を用いるものである)

(ラングランズプログラムの基本補題)
2008年にゴ・バオ・チャウ Ngô Bo Châu は、基本補題と称される補助的だが非常に難しい主 張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである。

導来圏 Derived category
アーベル圏A導来圏 Derived category D(A)はホモロジー代数から構成されるもので、A上に定 義された導来函手の理論を精密化するとともに、ある意味で単純化するべく導入された。その 構成は基本的には次の様に進む:まず圏D(A)の対象はAの双対鎖複体であり、次に2つのその様 な双対鎖複体の間にチェイン写像が存在してコホモロジーを取った段階で同型を誘導する場合 に同型であると考えるのである。このとき、導来函手は双対鎖複体に対して定義され、超コホ モロジーの考えを精密化したものとなる。これらの定義により、煩雑なスペクトル系列を用い て(完全に忠実ではなく)記述されるよりほか無かった式は劇的に簡素化される。
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